| 研究課題/領域番号 |
18K03351
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| 研究機関 | 弘前大学 |
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研究代表者 |
津田谷 公利 弘前大学, 理工学研究科, 教授 (60250411)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 波動方程式 / 時間大域解存在 / 爆発解 / 解の存在時間 / スケール因子 |
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| 研究実績の概要 |
標準宇宙モデルとして知られているフリードマン・ロバートソン・ウォーカー時空における非線形波動について考察する．フリードマン・ロバートソン・ウォーカー時空の計量は一般相対性理論に登場するアインシュタイン方程式の厳密解の一つで，一様等方的な物質分布のもとで膨張または収縮する宇宙モデルを表す．
本研究の目的は(i) 解の時間減衰・挙動 (ii) 時間大域解の最良存在条件 (iii)爆発解の存在時間の評価を明らかにし，さらに平坦な時空であるミンコフスキー空間の場合での既知の結果と比較することによって，宇宙膨張速度を表すスケール因子が非線形波動に及ぼす影響を解明することである．
本年度も非線形項が未知関数の冪乗であるタイプの波動方程式について研究を行った．まず，昨年度得られた爆発条件は，方程式が波動型に近い場合良い結果であるが，消散項の係数が大きい場合は必ずしもそうではないことが判明した．この場合は方程式が熱方程式に近いことを意味する．そこで，いわゆる藤田型指数を割り出し，劣臨界条件のもとで解の爆発および解の存在時間の評価を示すことに成功した．これにより解の爆発条件を拡張することができた．得られた結論は，解の存在時間の評価が3つのタイプに分けられるということである．これに伴って爆発条件の領域も3つに分かれる．
さらに，方程式が波動型，熱方程式型，どちらの場合においても臨界条件のもとで解の爆発および解の存在時間の評価を示すことに成功した．関連した方程式の既存の結果と照らし合わせると，これらの評価は最良であると考えられる．スケール因子に基づいて比較した結果，輻射優勢期だけでなく物質優勢期の宇宙でも，ミンコフスキー空間の場合と比べて解の爆発が起こりやすいということが明らかになった．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
まず，予想外の結果が得られたことが大きい．上記で述べたように，爆発解の条件，存在時間評価に関して3つの場合に分かれるという事実が明らかになった．これは興味深い研究結果である．さらに，解の時間大域的存在と爆発を分ける臨界条件のもとで解の爆発および解の存在時間の評価を示すことができたこと，関連した方程式の既存の結果と照らし合わせても，これらの爆発条件および存在時間の評価は最良であると考えられることが理由として挙げられる．
また，昨年度改良できた補題を用いて，熱方程式に近い場合でも解の爆発を証明することができた．補題の適用範囲が広がる可能性がある．
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| 今後の研究の推進方策 |
まず，方程式の解の伝播速度が有限であることの証明を完成させる．完成すれば得られた解の爆発証明を正当化することができる．
次に，膨張速度が等速である場合やドジッター時空の場合でも解の爆発条件を明らかにする．さらに，解の時間大域的存在を何らかの条件のもとで示す．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウィルス感染拡大により，研究打ち合わせ等の出張ができなくなったことが理由である．
ウィルス感染が収束し出張が可能になった場合は旅費に使用する予定である．収束する見通しが立たない場合はオンラインによる研究打ち合わせ，意見交換を行うため，Webカメラ等の機材を購入する．
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