| 研究課題/領域番号 |
18K03351
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| 研究機関 | 弘前大学 |
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研究代表者 |
津田谷 公利 弘前大学, 理工学研究科, 教授 (60250411)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 波動方程式 / 爆発解 / 解の存在時間 / スケール因子 / 膨張宇宙 |
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| 研究実績の概要 |
標準宇宙モデルとして知られているフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー時空における非線形波動について考察する．フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー時空の計量は一般相対性理論に登場するアインシュタイン方程式の厳密解の一つであり，一様等方的な物質分布のもとで膨張または収縮する宇宙モデルを表す．
本研究の目的は，解の爆発の条件，爆発解の存在時間の評価を明らかにし，さらに平坦な時空であるミンコフスキー空間の場合での既知の結果と比較することによって，宇宙膨張速度を表すスケール因子が非線形波動に及ぼす影響を解明することである．
まず，非線形項が未知関数の冪乗であるタイプの波動方程式について，等速膨張あるいは加速膨張する場合で得られた結果をまとめて学術雑誌に投稿した論文は，査読により訂正を求められた．定理の証明を簡略化できることがわかり，修正を行った結果，論文が掲載された．これは，1より大きい任意の冪乗で解の爆発が起こること，および爆発解の存在時間の評価を示した結果である．
また，未知関数の偏導関数の冪乗タイプである方程式について得られた結果をまとめた論文も学術雑誌に掲載された．減速膨張，等速膨張，加速膨張に対して，いずれも解の爆発条件および爆発解の存在時間の評価を得ることができた．
フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー時空の特別な場合で，加速膨張する宇宙モデルの一つであるドジッター時空についても研究した．未知関数の冪乗タイプ，未知関数の空間変数に関する偏導関数の冪乗タイプの両方で解の爆発条件を明らかにすることができた．さらに爆発解の存在時間の評価を導き出すことに成功した．これらの結果をまとめた論文も学術雑誌に掲載された．
以上の研究成果はすべて日本数学会の一般講演で発表した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー時空の特別な場合で，加速膨張する宇宙モデルの一つであるドジッター時空について研究した結果，成果が得られたことが大きい．ドジッター時空の場合の研究は当初の計画にはなかった．新たな試験関数を導入することにより，未知関数の冪乗タイプ，未知関数の空間変数に関する偏導関数の冪乗タイプの両方で解の爆発条件を明らかにすることができた．さらに爆発解の存在時間の評価を導き出すことに成功した．ドジッター時空での波動方程式の時間大域解の存在問題はこれまで未解決であった．解の爆発結果を初めて示すことができたのである．
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| 今後の研究の推進方策 |
未知関数の冪乗タイプで，等速膨張あるいは加速膨張する場合に爆発解の存在時間の評価が良くなる可能性がある．この研究を行い，評価の改良につなげる．
また，未知関数の時間に関する偏導関数の冪乗タイプで，減速膨張，等速膨張あるいは加速膨張する場合，新たに見つかった臨界指数に等しいときの解の爆発が未解決であるため，解決方法を探る．さらに，この爆発解の存在時間の評価を求めていく．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
年度末に学会出張をして最新の情報を収集し，共同研究者と研究打ち合わせをする計画であったが，コロナ禍により学会が中止となってしまった．次年度に行うため，出張旅費で使用する予定である．新しい研究結果が得られた場合は学会発表も行う計画である．
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