| 研究課題/領域番号 |
18K03358
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| 研究機関 | 東京海洋大学 |
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研究代表者 |
中島 主恵 東京海洋大学, 学術研究院, 教授 (10318800)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 反応拡散系 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では不均質環境での遺伝子頻度の変化を表す非線形反応拡散方程式を研究する．特に定常遷移層，定常スパイクの位置，形状を解析する．また不均質性と定常解の存在， 一意性，多重度，漸近安定性との関連を解明する．
本年度は遺伝子頻度モデルの nモード解を分岐理論的アプローチにより研究する．
ある反応拡散方程式で表される遺伝子頻度表す方程式の遷移層を持つ解はどこから分岐してきたのだろうか？ 考える方程式の解は遺伝子頻度を表す確率変数なので，0と1の間の定常解のみに着目するべきだが，発想を変えて正値の定常解をすべて考えるとこの問いの答えが見えてく申請者をはじめとする過去の研究では1以下の正値解を考えたので，定常解の個数は限られ一意性が問題になったが，1以下という条件付けなければ本方程式は無数の正値定常解をもち，しかもそれぞれの非定数定常解はさまざまな数の節（遷移層）を持つことが最近分かってきた． u = 1と n 個の交点をもつ定常解を n モード解と呼び (n = 0,1,2,…)，拡散係数 d を小さくすると定数定常解 u = 1 から0モード解，1モード解，2モード解，が次々に分岐する．この分岐枝に関し次のことを数学的に厳密に証明する．
研究１.分岐した n モードの枝は，そのモードを変えることなく拡散件数微小の条件下まで大域的に存在する．また拡散係数が小さいとき，ｎモード解の遷移層は環境変数 g(x) の零点あるいは端点の近傍のみに位置する．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
以下の目標に関する研究を進め論文を作成中であること．
(ア)本方程式の非定数定常解の一意性に関するLou-Nagylaki予想(2002)に関し，申請者(2016)はある条件下で同予想が真であることを証明する一方，申請者-Su(2020)は異なる条 件下で同予想の数学的反例を構成し，同予想が偽であることを証明した．実際の遺伝現象において同予想は実現されると考えられる．さらに研究を進め，同予想が成立するための不均 質性の数学的特徴づけを行い，不均質環境が遺伝子に与える影響のメカニズムを解明する．
(イ) 本方程式に積分平均の項で表されるパンミクシーの効果を加えた新たな方程式を考え る．拡散，不均質性，積分平均の３つの要素が定常遷移層に与える影響を解明する．
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は今まで考えてきた方程式にパンミクシーの効果を加えた方程式，拡散効果，不均質性に加え積分平均の効果を考慮する場合，３つの要素がつり合いを保って形成する定常遷移層について研究をすすめる．
研究２. 積分平均の項の係数ｂが微小でない場合に非定数定常解を構成し，定常解の形状を調べる．さらに安定性，一意性などの性質を研究する．F. Li, K. Nakashima, W. Niではこの研究に先立ち，微小な拡散係数と微小なパンミクシーの効果にたいし非定数定常解が存在することを証明しているが，本研究では拡散係数は微小だが，パンミクシーの効果の項の値は比較的大きい場合に遷移層をもつ定常解を構成し，その遷移層の位置，安定性などの性質を明らかにする．定常解の構成に関しては次のような方針で研究を進める．はじめに方程式は順序保存系となっていることを示す．これにより比較定理が適用可能となる．さらに定常解の評価を用いてより解析しやすく優劣解となりうる方程式(Q)を見つける．(Q)の定常解は接合漸近展開を厳密化する方法で構成する．この方法により比較的大きなパンミクシーの効果に対し遷移層を持つ定常解を構成することが可能になる．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウィルスの感染状況により、出張、研究発表などの遅れが生じているため．
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