| 研究課題/領域番号 |
18K03360
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| 研究機関 | 富山大学 |
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研究代表者 |
藤田 安啓 富山大学, 大学院理工学研究部(理学), 教授 (10209067)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 病的函数 / Hamilton-Jacobi flow / ２階の中心差分 / 区分的に２次函数 / 高木函数 / 自己アファイン性 |
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| 研究実績の概要 |
今年度は、研究課題である「病的函数を初期値とするHamilton-Jacobi flowの研究」について２つの研究成果を上げた。これら２つの結果は当初から予想されていたものである。現在、そのうちの一つは数学関係の専門雑誌に投稿中であり、もう一つは論文として纏め始めている。なお、ここで言う病的函数とは、実数直線状で定義されて、至る所連続で至る所微分不可能な函数のことである。
まず現在投稿中の論文では、初期値となる病的函数のクラスとして”適切”と思われるクラスを設定した。そのクラスの函数は２階の中心差分に対応するものがある評価をみたす函数のクラスとして定義されて、病的函数としては定義されていない。しかし、このクラスの函数は結果的に病的函数になる。また、ある函数がこのクラスに属することは、この函数のグラフ上の点を頂点とする放物線の族がある種の不等式をみたすことと同値になるということで特徴づけられる。この特徴づけを使って、基本的な２次のHamilton-Jacobi semigroupに対する、このクラスの函数を初期値とするHamilton-Jacobi flowを考えると、このflowは各時刻で区分的に２次函数となる。すなわち、初期値は至る所で微分不可能であるが、flowの微分不可能点は各有界閉区間では有限個である。
次に、現在纏め始めている論文では、上記のクラスの函数のうち、最も重要で典型的なものである高木函数を取り上げている。高木函数はこのクラスの函数なので、上にあげた性質を持つのはもちろんであるが、初期値が高木函数である時にはこのflowの表現をほぼ完全に記述できるということをまず示した。つぎに、それを使い、このflowが時間発展的な自己アファイン性を持つことを示した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
上記研究実績の概要で書いたように、当初予想していたことをほぼ実現できたという意味では、おおむね順調に進展しており満足の行くものである。ただ、昨年度中に論文のアクセプトが得られなかったという意味で当初の計画以上に進展しているとは言い難いかもしれないと思う。
具体的な内容について説明して行きたい。まず得られた2つの結果のうち、最初の結果は現在投稿中である。まだ審査は終わっていないものの論文の投稿という段階までに達した。この結果が現在投稿中の数学専門雑誌でアクセプトされるか否かは今後の進捗状況に多大な影響をもたらすが、もしレジェクトされるようなことがあってもあきらめずレフェリーから指摘された点を直すなどして別の雑誌に投稿したい。この論文の結果については、共著者を含め私も満足の行く結果だと信じている。
次に、現在纏めている論文では、当初予想もしていなかった「自己アファイン性」という概念が出てきており、これは大いなる進展と思われる。この「自己アファイン性」はポジティブな結果であると信じているので今後の発展につなげて行きたい。そのために、フラクタルについて、再度勉強してこの「自己アファイン性」についての理解を深めて行きたい。さらに、できるだけ早い時期にこの結果を論文にまとめて論文の投稿にまで持って行きたい。
上記2つの理由により、研究はおおむね順調に進展していると言ってよいと思う。もちろん、これに満足することなく、さらなる発展を目指したい。
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| 今後の研究の推進方策 |
現在投稿中の論文については、何とかアクセプトまで持っていきたい。もし、レフェリーから何か言われて書き直しを要求されたときも、最善の方法を考えアクセプトまで持っていきたい。また、もしレジェクトされるようなことがあってもあきらめずレフェリーから指摘された点を直すなどして別の雑誌に投稿するなど次善の策を模索したい。
次に、現在纏めている論文については、当初予想もしていなかった「自己アファイン性」という概念がはっきりと出てきており、今後も研究を深めてさらなる結果につなげて行きたい。この「自己アファイン性」は今後の研究の鍵となるものであると確信している。
さらに、今年の7月1日から6日まで中国の上海の復旦大学で開かれる研究集会「New trends in Hamilton-Jacobi: PDE,Control,Dynamical Systems and Geometry」において招待講演を依頼されているので、この研究集会で上記2つの結果について講演してきたい。この研究集会は、Hamilton-Jacobi方程式関連の研究集会としては非常に大がかりな研究集会なので、その場で多くの研究者たちの意見を聞いてきたいと思っている。特に、
「自己アファイン性」は面白い結果だと思うので、これについて意見を聞いてきたいと思っている。
さらに、いくつかの研究集会でこれらの結果について発表したい。このために、連携研究者である富山大学の山口範和氏や北海道大学の浜向直氏らの意見を参考にして「自己アファイン性」の結果をより良いものとして行きたい。山口氏は同じ大学なので頻繁に会うようにしたい。浜向氏は札幌という遠隔地にいるが、時間を都合して何度か訪問したい。
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