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2020 年度 実施状況報告書

病的函数を初期値とする Hamilton-Jacobi flow の研究

研究課題

研究課題/領域番号 18K03360
研究機関富山大学

研究代表者

藤田 安啓  富山大学, 学術研究部理学系, 教授 (10209067)

研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2022-03-31
キーワード病的函数 / Hamilton-Jacobi flow / 至る所微分不可能 / 放物線群
研究実績の概要

今年度の最も重要な成果は研究当初からの課題であった「Hamilton-Jacobi flow の挙動から初期値である連続函数の至る所微分不可能性が出るか」という問いに肯定的に答えることができ、その証明を与えることができたと思うことである。昨年度Acta Math. Hungaricaから出版した論文(投稿は2019年)で、Hamilton-Jacobi flow の挙動から初期値である連続函数のある稠密集合上での微分不可能性を示すことができたが、今年度の結果はこれを『すべて』の点で微分不可能であることまで拡張できるというものである。

しかしながら、この証明は大変複雑で難しいものである。証明が本当に正しいかのチェックをこれから私自身だけでなく共著者たちと行うことはもちろんであるが、証明が正しければ論文として読みやすくインパクトがあるかなども気を使って書かなけねばならない。結果としては非常に重要であり、本研究のまとめともいえるものであるので、焦ることなく時間をかけてチェックや書き直しをしていきたい。令和3年度(2021年度)に投稿できることが理想であるが、ここは時間をかけていきたい。

今年度はコロナ禍で研究会や学会が軒並み開催されず、この結果について研究会などで話す機会もなく広く知ってもらうこともできなっかった。これが非常に残念なことで、研究会や学会で多くの数学者に聞いてもらい、意見や感想を聞ければまた違った展開もあったと思う。次年度は、研究会や学会で話すことも課題の一つとして研究の発展を目指していきたい。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

当該年度は、研究当初から最も重要な課題であった「Hamilton-Jacobi flow の挙動から初期値である連続函数の至る所微分不可能性が出るか」という問いに肯定的に答えることができ、その証明を与えられたと思う。本研究の目的のひとつが、Hamilton-Jacobi flow の挙動から初期値である連続函数について何が言えるかについて答えるというものであったので、これで研究はおおむね順調に進展していると言って良いのではないかと思う。

しかしながら、その証明の細かいチェックなどはこれからである。可能ならば、共同研究者たちと一堂に会して、彼らの前で話をして、その場で意見を聞くというのが数学の研究としては理想的である。これがコロナ禍で出来なかったのが残念である。これを済ませて、次の段階に入っていれば当初の計画以上に進展していると言えたかもしれない。それができていないのが、当初の計画以上に進展しているとは言えないひとつの理由である。

また、当該年度はコロナ禍で研究会や学会が軒並み開催されず、この結果について研究会などで話す機会もなく、この結果については広く知ってもらうこともできなっかった。これも非常に残念なことで、当初の計画以上に進展しているとは言えないもう一つの理由として挙げることができる。

今後の研究の推進方策

当該年度に示すことができたと思われる「Hamilton-Jacobi flow の挙動から初期値である連続函数の至る所微分不可能性が出るか」という結果について、今後は証明が本当に正しいかのチェックを私自身だけでなく共著者たちと行うことが最も重要である。さらに、証明が正しければ論文として読みやすくインパクトがあるかなども気を使いながら書き上げなければならない。結果としては非常に重要であり、本研究のまとめともいえるものであるので、焦ることなく時間をかけてチェックや書き直しをしていきたい。早く出したいという希望はもちろんあるが、ここは時間をかけて完璧なものとして出版したい。

また、研究会や学会で多くの数学者に聞いてもらい、意見や感想を聞ければまた違った展開もあったと思う。次年度は、研究会や学会で話すことも課題の一つとして
研究の発展を目指していきたい。

次年度使用額が生じた理由

コロナ禍による災害のため出張が全くできず、研究打ち合わせや研究発表ができなかったため助成金の使用予定に大幅な食い違いが生じた。このため、80万円を次年度に繰り越し、さらなる一般的な病的函数に対する Hamilton-Jacobi flow の研究のため、数値シミュレーションの実施と国内外での研究打ち合わせと研究発表のために使用する。ただし、国内外での研究打ち合わせと研究発表ははコロナの感染状況に依存する。

  • 研究成果

    (7件)

すべて 2021 2020 その他

すべて 国際共同研究 (1件) 雑誌論文 (4件) (うち国際共著 4件、 査読あり 4件、 オープンアクセス 1件) 学会発表 (1件) 備考 (1件)

  • [国際共同研究] ローマ大学サピエンツァ校(イタリア)

    • 国名
      イタリア
    • 外国機関名
      ローマ大学サピエンツァ校
  • [雑誌論文] A self-affine property of evolutional type appearing in a Hamilton--Jacobi flow starting from the Takagi function2021

    • 著者名/発表者名
      Fujita, Y., Hamamuki,N., , Yamaguchi,N.
    • 雑誌名

      to appear in Michigan Mathematical Journal

      巻: 70 ページ: 1-16

    • DOI

      10.1307/mmj/20195782

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] A class of nowhere differentiable functions satisfying some concavity-type estimate2020

    • 著者名/発表者名
      Fujita, Y., Hamamuki,N., Siconolfi, A., Yamaguchi,N.
    • 雑誌名

      Acta Mathematica Hungarica

      巻: 160 ページ: 343--359

    • DOI

      10.1007/s10474-019-01007-3

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] All the generalized characteristics for the solution to a Hamilton--Jacobi equation with the initial data of the Takagi function2020

    • 著者名/発表者名
      Fujita, Y., Hamamuki,N., , Yamaguchi,N.
    • 雑誌名

      SN Partial Differential Equations and Applications "Viscosity solutions - Dedicated to Hitoshi Ishii on the award of the 1st Kodaira Kunihiko Prize"

      巻: 1:38 ページ: 20pages

    • DOI

      10.1007/s42985-020-00039-7

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] New Sharp Gagliardo--Nirenberg--Sobolev Inequalities and an Improved Borell--Brascamp--Lieb Inequality2020

    • 著者名/発表者名
      Bolley, F., Cordero-Erausquin, D., Fujita, Y., Gentil, I., Guillin, A.
    • 雑誌名

      International Mathematics Research Notices, IMRN

      巻: 2020 ページ: 3042--3083

    • DOI

      10.1093/imrn/rny111

    • 査読あり / 国際共著
  • [学会発表] 高木函数を初期値とする Hamilton-Jacobi 方程式における特異性の伝播2020

    • 著者名/発表者名
      藤田 安啓、山口 範和、浜向 直
    • 学会等名
      日本数学会2020年度秋季総合分科会, 函数方程式分科会 学会は中止(講演は成立), 熊本大学
  • [備考] 藤田研究室のホームページ

    • URL

      https://www.sci.u-toyama.ac.jp/~yfujita/index.html

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公開日: 2021-12-27  

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