| 研究課題/領域番号 |
18K03363
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
菱田 俊明 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60257243)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 非圧縮粘性流 / Navier-Stokes方程式 / 外部問題 / 漸近展開 / 発展作用素 / 長時間挙動 / 安定性 / 制御 |
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| 研究実績の概要 |
空間３次元の外部領域において、剛体の障害物の並進速度と回転角速度が時間により変動する場合に、その周りでの非圧縮粘性流の運動を支配する非線型システムの解析を念頭に、非自励な線型化方程式の初期値問題の解の長時間挙動を考察した。その解は発展作用素により実現され、その減衰評価の考察は本研究の主題である流体の中の物体の運動の制御と安定性の解析を行う上で基本的な役割を果たす。しかし、非自励系であるために、自励系に通用するスペクトル解析は立ち行かない。まず、エネルギ一関係式および全空間での発展作用素の減衰評価に注目し、cut-offも援用して双対発展作用素とセットで議論することにより、０階の減衰評価を証明した（Math. Ann. 2018）。さらに、これを用いて障害物近くの局所減衰評価を求め、また圧力の挙動も制御することにより、発展作用素の空間１階微分の最適な減衰度を求めることにも成功した（論文準備中）。上記の問題設定の特別な場合として、Finnの starting問題、すなわち静止した物体が加速して有限時間後に一様な並進速度へ達するときに、対応する定常解への漸近を問う問題を考察した。この問題は初期値がゼロの場合に既に解かれているが、任意に大きい３乗可積分な初期値からstartしても定常解の attainabilityが得られることを明らかにした（J. Math. Fluid Mech. 2018）。
次に、空間２次元の外部定常問題を考察した。２次元特有の Stokesの逆理による困難が障害物の回転により解消されることは研究代表者が示したところであるが、本研究では、スケ一ル臨界減衰するNavier-Stokes流を小さく与えるとき、その空間無限遠での漸近展開を行い、主要項の形を具体的に求めた（専門誌で査読中、また arXiv:1809.03164 で公開中）。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非圧縮粘性流体の中の物体の運動の制御と安定性の数学的解明、また関連する諸問題の数学的基礎を与えることを研究目的とする。そのための第一段階は、時間に依存した物体の運動を与えるときに、その周りでの流体の漸近挙動の詳細な解析であるが、その長時間挙動は対応する定常問題の解の安定性あるいは attainabilityと密接に関わる。しかしながら、当問題に限らず一般に、外部領域での線型初期値問題の減衰評価の導出は自励系（半群）であっても難しい問題で、非自励系（発展作用素）となると、手がかりとなる一般論は皆無であり、各問題の特徴を捉えた固有な解析を要する。そのような背景のもと、研究実績概要欄で述べたように、障害物の運動速度についての妥当な条件のもとで発展作用素のLq-Lr型の減衰評価を０階のみならず１階微分に対しても得たことは成果であった。しかも得られた結果は、自励系に対して知られていた結果をすべて包括している。すべての場合を統一的に扱える新しい証明方法を見い出したこと自体が意義深く、当研究とは直接には関係のない問題へも同様な考え方を適用できる可能性がある。加えて、当研究課題の主題に戻れば、得られた結果は種々の興味深い物理状況に応用できる。一例を挙げれば、研究実績概要欄で障害物並進の場合のFinnの starting問題についての成果も述べたが、同様な問題を障害物回転の場合に考察することも重要であり、しかしながら移流項の係数の非有界性により、同様な手法では立ち行かない。有効な解決方法は、上記の発展作用素の減衰評価の活用である。この例も含めて、得られた成果の応用は広く、当研究の進展を期待できる。
さらに、２次元定常解の漸近展開も成果であった。その主要項の形が分かったので、この定常解の周りでの線型化作用素の主要部が判明し、それによる半群の生成と漸近挙動の研究へ進むことができる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究について、上記のとおり、発展作用素について得られた成果は幅広い問題に有効であるので、空間３次元での回転のstarting 問題も含めて、その適用範囲を正確に検討する。その上で、流体と物体が実際に相互作用する問題へ進む。典型的かつ重要な問題の一つとして、self-propelled条件のもとでの制御問題がある。物理的に特徴のある意義深い制御の存在は、研究代表者の数年前の研究により既に知られているが、種々の制御の内から妥当な判断基準（例えば抵抗最小）をみたす最適制御問題は未解決のまま残っており、さらにその先に、最適制御解の小さな初期擾乱に対する安定性の問題がある。そのためには、最適制御解の空間無限遠での漸近展開と共に、上記の発展作用素に対する結果、あるいは結果それ自体でなくともその論証における考え方が活かせることは間違いない。
２次元の外部領域で同様な成果を得ることは非常に重要である。漸近挙動が論点となるとき、２次元は常に３次元よりも難しいが、実際に、上記の３次元の解析の一部分は２次元では本質的に働かない。非自励系ではなく、自励系の特別な場合である一定角速度で回転する２次元物体の外部であっても、線型部分の生成する半群の長時間減衰評価は現時点では明らかにされていない。まずは、その場合のスペクトル解析を詳細に行うことから始めたい。そして、その先に、研究実績概要欄の後半で述べた定常解の周りでの線型化作用素の解析があり、興味深い問題はつきない。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
(理由）予定通りに出張を行ったが、図書等の物品を購入しなかったので、残額が出た。また、国際会議出張１件については、当初予定と異なり、主催者側が旅費滞在費を支出してくれたことも、当資金に残額が出た理由である。
(使用計画）２０１９年度について、１０月にフランスのLuminy（CIRM）で当研究計画に関わる国際会議があり、渡航して研究発表を行うことが確定している。その費用を当資金から支出する。さらに、11-12月にフランスの研究者（Paris第６のJulien Guillod 准教授）を研究代表者の所属機関へ招聘して、当研究計画と密接に関わる新たな共同研究を開始することが確定している。その費用のいっさいを当資金より支出する。
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