| 研究実績の概要 |
本研究では, 圧縮性 Naver-Stokes 方程式, 圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式, 双曲型 Navier-Stokes 方程式の解の時間に関する漸近挙動を考察し，これらの粘性流に現れる波動現象と拡散現象を数学的に明らかにすることが目的である. 圧縮性 Navier-Stokes 方程式では, これまでの定数平衡状態の安定性の研究において, 広い意味での Huygens の原理が成り立つことが示唆されている. 圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式は, 2相流等で相転移境界が薄い遷移ゾーンとして見なされるモデル方程式として提唱され, 近年その初期値問題が研究されている. 非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式は, 斉次非圧縮性 Maxwell 流体の運動の記述として提唱されており, 初期値問題および半空間の初期値境界値問題の場合に, 小さい初期値に対する時間大域強解の一意存在が示されている.
全空間における圧縮性 Navier-Stokes- Korteweg 方程式の初期値問題では，定数平衡状態の安定性について研究し，解の漸近挙動の詳細な結果を得ることに成功した．圧縮性 Navier-Stokes 方程式ではこれまで, 全空間の初期値問題で解の拡散波動現象を表す時間減衰評価が示されていたが, 圧縮性 Navier-Stokes- Korteweg 方程式 においても, 本研究によって, 解は拡散項, 拡散波動項, 非線形項を含む高減衰項の３つに漸近的に分類され, Lp (p>2) 空間で測ると第一近似は拡散項でStokes 方程式の初期値問題の解の速度場となること, Lp (p<2) 空間で測ると, 拡散波動項が第一近似となること, 特に, 解の L1 評価は時間に関して増大するが示された.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
圧縮性 Navier-Stokes 方程式の定数平衡状態の安定性の研究では, 広い意味での Huygens の原理が成り立つことが示唆されている. 圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式は, 2相流等で相転移境界が薄い遷移ゾーンとして見なされるモデル方程式として提唱され近年研究されている. 双曲型 Navier-Stokes 方程式は, 斉次非圧縮性 Maxwell 流体の運動の記述として提唱されており, 初期値問題の場合に, 小さい初期値に対する時間大域強解の一意存在が示されている.外部領域と摂動半空間における双曲型 Navier-Stokes 方程式では，線形化方程式の解の局所エネルギー減衰評価を得ることに成功し，現在では非線形方程式の時間局所解の存在に着手している. 全空間における圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式の初期値問題では，定数平衡状態の安定性について研究し，解の時間無限における漸近挙動の詳細な結果を得ることに成功した. また，音速がゼロの場合を考察し，ソボレフ空間の枠組み, Besov空間の枠組み，最大正則性原理の枠組みで，定数平衡状態の安定性と解の漸近挙動の結果を得ることに成功した. 2次元全空間の非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式, 非圧縮性 Navier-Stokes 方程式，圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式の初期値問題では解の時空間の L2 有界性を得ることに成功した. これらの初期値問題の研究は概ね順調に進んでいる．現在，圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式の初期値境界値問題に着手し，レゾルベント問題で一定の結果を得たため, 解の漸近形を抽出する研究を行っているが，関連する研究者との討論ができないため少し研究が遅れている.
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| 今後の研究の推進方策 |
圧縮性 Naver-Stokes 方程式と非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式の解の構造において, 前者の線形近似は非圧縮性 Stokes 方程式と線形粘性弾性体方程式 であり, 後者はソレノイダルベクトル場における消散項付波動方程式である. 拡散項と波動項の相互作用が異なるため, それぞれの方程式系の解の拡散現象と波 動現象を知るために, 解の時間無限における漸近挙動を解析する.
(1) 外部領域および摂動半空間における非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式の初期値境界値問題では，非線形問題を解く第一歩として，時間局所解の存在証明に着手する. 次に, すでに得られている解の局所エネルギー減衰評価と全空間の解の評価を用いて解の Lp-Lq 評価を導き，非線形問題の時間大域解の存在と解の減衰評価を示す．
(2) 圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式は，二相流体の拡散界面モデルであり，その相転移を記述するためには圧力項は非単調増加関数でなければならな い.したがって，音速がゼロの場合を含めて考察し，外部領域における圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式の初期値境界値問題において，まず線形化方程式の解の局所エネルギー評価を導く.その際，拡散項や拡散波動項の抽出も行い，全空間の場合で得られている拡散項や拡散波動項の評価と合わせてcutoff テクニックを用いて線形化方程式の解の Lp-Lq 評価を導く.非線形問題に対しては，得られた Lp-Lq 評価と解の最大正則性原理を用いて時間大域解の存在と解の減衰評価を示す.
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