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本研究では、 圧縮性 Naver-Stokes 方程式、圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式、非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式の解の時間大域解の存在と漸近挙動を考察することで、これらの粘性流に現れる波動現象と拡散現象を数学的に明らかにすることが目的である。圧縮性 Navier-Stokes 方程式では、 これまでの定数平衡状態の安定性の研究において、 広い意味での Huygens の原理が成り立つことが示唆されている。圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 方程式は、２相流等で相転移境界が薄い遷移ゾーンとして見なされるモデル方程式として提唱され、近年その初期値問題が研究されている。非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式は、斉次非圧縮性 Maxwell 流体の運動の記述として提唱されており、初期値問題および半空間の初期値境界値問題の場合に、小さい初期値に対する時間大域強解の一意存在が示されている。
全空間における圧縮性 Navier-Stokes- Korteweg 方程式の初期値問題では、双曲型の特徴である拡散波動現象を明らかにした。また、この方程式では、相転移を記述するための圧力項は非単調増加関数であるため、 音速がゼロの場合を考察し、ソボレフ空間、 臨界 Besov 空間、最大正則性の枠組みで定数平衡状態の安定性を示すことに成功した。２次元全空間における Navier-Stokes 及び双曲型 Navier-Stokes 方程式の初期値問題では、可積分かつ２乗可積分空間に属する小さい初期値に対して、解の時空間におけるL2有界性を証明した。 また、双曲型 Navier-Stokes 方程式では外部領域と摂動半空間の場合に、解の局所エネルギー減衰評価を示した。
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