| 研究課題/領域番号 |
18K03373
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| 研究機関 | 大阪市立大学 |
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研究代表者 |
関 行宏 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 特任助教 (50728970)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 特異性形成 / 臨界指数 / 藤田方程式 / 調和写像流方程式 / Type II |
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| 研究実績の概要 |
本研究課題は様々な非線形放物型方程式で現れる非自己相似的な特異性の形成(Type II 爆発と呼ぶ)に関してその諸性質を明らかにすることを目的としている。
本年度はべき乗型非線形項を持つ半線形熱方程式（藤田方程式）に対する球対称解の爆発構造を研究した。非線形性を示す重要な数として、自己相似解の存在・非存在に関して Lepin の臨界指数が重要な役割を果たしていることはよく知られている。べきがこの指数に一致するとき、従来から知られている Herrero--Velazquez により構成された Type II 爆発解とは質的に異なる Type II 爆発解が存在することを証明した。
これは以下に述べる７次元単位球面に値を取る調和写像流方程式に対する結果と対をなすものだが、半線形熱方程式はより豊富な構造を備えており、空間次元が丁度ある閾値にあるとき、二重の対数補正因子をもつ Type II 爆発解が構成できる。
本論文は既に専門学術誌 Journal of Differential Equations に掲載されている。
また、ドイツの若手研究者 P. Biernat 氏と共同で調和写像流方程式に対する Type II 爆発解の構成に取り組んだ。申請時における予想通りの結果を得ただけでなく、解の正則性評価を積み上げて行くことでエネルギー密度関数に対する特異点近傍における精密な局所評価を得た。その結果を含む論文は国際学術雑誌に投稿し、１年を超える査読プロセスを終了して２０１９年度末に専門学術誌 Nonlinearity に掲載が決定した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
藤田方程式の Lepin 指数に関する論文、及び調和写像流方程式に関する論文共に年度内に国際学術専門誌への掲載許可が得られた。研究計画は後半部分を残すのみとなったが、それに関する予備的考察と情報収集は２０１９年度も行っており、解決への道はおおよそ見通しの良いものとなってきている。研究計画時の想定以上に複雑な計算が必要であったことから、本来同時期に行う予定であった他の方程式については翌年度以降に持ち越すことにしたが、それでも計画時には想定していなかった成果が得られたことは大きく、また論文が順調に出版されていることからこのように評価した。
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| 今後の研究の推進方策 |
藤田方程式、調和写像流方程式を中心としてより深い解析を試みる。研究課題に関連する研究においても従来の方法よりも精密な解の評価が可能になったので、平行して研究を進め相互的な研究の発展を目指す。そのために必要な情報収集や研究打合せを随時行ってゆく。
研究計画時の目標を達成することが第一だが、より詳しく進んだ解析が可能になることも予想される。そこで場合によっては研究計画の再検討を行い、深い結果を得るために研究計画最終前年度申請を行ってより優れた研究の発展を目指す。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
主に旅費としてしようする予定だった金額を次年度使用額とした。本来、年度末に研究打合せのため国内出張を行う予定だったが、新型コロナウイルスの感染拡大防止のために出張を取り止め、次年度に改めて行うこととした。
他県への移動に関して安全が確認出来次第、予定していた国内出張を行う。
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