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球面に値をとる調和写像流方程式を考察し、前年度の結果をいくらか改善した。調和写像流方程式は球面に値をとる未知関数を考えているため、当然解はベクトル値の関数となるのだが、一般のベクトル値関数を考えているだけでは情報があまりに少ないため、有益な情報を得ることは困難である。そこで解に対して対称性等の条件をある程度課すことで、詳細な情報を得ることが期待できる。特に本研究では球面において極座標表示を用いて一つの角度を従属変数とする性質を持つ解に焦点を当てることで、ベクトル値の微分方程式をスカラー値の微分方程式に帰着させ、解析的にやや取り扱い易い形に変形することで研究を進めてきた。この変形された微分方程式は、従来の研究ではいわゆる藤田方程式と呼ばれる半線形熱方程式との数学的な類似が明らかにされてきたが、非線形項が凸関数でないために生じる技術的な困難性が様々な点で問題となる。そこで本研究ではいくつかの特徴的な良い性質をもつ解の典型例を構成し、一般の場合はそれらの典型例と一般の爆発解との交点数を比べることで様々な解の定量的性質を明らかにした。球面を地球の表面と見た場合、赤道にあたる調和写像が特異性構造の重要な鍵であることが典型例に対しては知られていたが、これが一般の解に対してもやはり重要な役割を果たすことが明らかになった。特に１次元放物型方程式に対する零点数定理を適切に用いることで一般の爆発解に対して予想される鍵となる性質を確かめることができた。特に最終年度の研究においては特異点近傍における解の勾配が最大となる領域のサイズについて有力な評価式を得た。これを用いることで研究計画の当初に予定していた結果の多くを得ることができる。論文にまとめるためにもう少し時間がかかるが、本研究課題の後継となる研究課題とも関係するため、より慎重にまとめたいと考えている。
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