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2018 年度 実施状況報告書

二重非線形退化特異放物型作用素の正則性と幾何学的熱流の研究

研究課題

研究課題/領域番号 18K03375
研究機関熊本大学

研究代表者

三沢 正史  熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (40242672)

研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2021-03-31
キーワードpソボレフ熱流 / 山辺熱流 / 二重非線形退化特異放物型作用素 / ソボレフ不等式 / 非線形固有値問題
研究実績の概要

Sobolev不等式の最良定数を定める体積制限条件付き極値問題を考える. この条件付き極値問題に対する勾配流をp-Sobolev流と呼ぶ.これは, porous medium型作用素とp-Laplace型作用素の混合した二重非線形退化特異放物型2階偏微分方程式の解として定まる. p=2の場合には, pソボレフ熱流は山辺熱流と呼ばれ, 山辺問題と呼ばれるスカラー曲率の等角(共形)変形に関する変分問題の勾配流である.平成30年度は以下の結果を得た:p-Sobolev流に対応する二重非線形放物型方程式に対する初期値境界値問題の弱解の時間大域存在を証明した(雑誌論文3つ目);p-Sobolev流の弱解の比較定理,正値性(弱ハルナック不等式),有界性および正則性(連続性, 連続微分可能性)を証明した(雑誌論文2つ目);本研究と関連する幾何学的方程式について以下の結果を得た:球面に値をとるp調和写像とその一般化の解析的特徴付け(雑誌論文4つ目);p調和写像熱流の初期値問題の部分的正則な弱解の時間大域存在(雑誌論文1つ目)

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

本研究の課題である,pソボレフ熱流の弱解に対する先験的評価を構築した(雑誌論文2つ目). 一方, 対応する二重非線形放物型方程式の弱解の大域存在を証明した(雑誌論文3つ目). 今後, 適当なスケール変換を見出して,存在を証明した二重非線形放物型方程式に適用し,pソボレフ熱流の弱解を構成し,その解を先験的評価にもとづき時間大域的に延長することができる.また,うまく機能するスケール変換を見出している.

今後の研究の推進方策

pソボレフ熱流に変換するスケール変換を見出すとともにその数学的正当性を証明する. 解の時間無限大の集中現象を証明するために, 解の局所有界性を証明する.ソボレフ不等式の最良定数に関わる方程式であるので,Sobolev不等式の意味で臨界の非線形項を伴う二重非線形方程式の弱解に対する局所有界性を考える必要がある.解析的に工夫を要する.

次年度使用額が生じた理由

(理由)
平成30年度後半(平成31年度3月)に外国人を招聘することになり,当初予定していた旅費よりも多くの旅費が必要となった. このため平成30年度10月に申請して前倒し使用を行ったが,結局,他大学科研費からの旅費の援助があり,残額が生じた.
(使用計画)
次年度31年度も引き続き当科研費研究課題に関する研究活動を行う.前年度残額を込めて有効に使用できる計画である.

  • 研究成果

    (10件)

すべて 2019 2018 その他

すべて 国際共同研究 (2件) 雑誌論文 (5件) (うち国際共著 1件、 査読あり 4件) 学会発表 (3件) (うち国際学会 2件、 招待講演 3件)

  • [国際共同研究] University of Helsinki/University of Jyvaskyla(フィンランド)

    • 国名
      フィンランド
    • 外国機関名
      University of Helsinki/University of Jyvaskyla
  • [国際共同研究] Institute Mittag-Leffler(スウェーデン)

    • 国名
      スウェーデン
    • 外国機関名
      Institute Mittag-Leffler
  • [雑誌論文] Global existence and partial regularity for the p-harmonic flow2019

    • 著者名/発表者名
      Masashi Misawa
    • 雑誌名

      Calculus of Variations and Partial Differential Equations

      巻: 58, no. 54 ページ: 66ページ

    • DOI

      https://doi.org/10.1007/s00526-019-1500-9

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Regularity estmmates for the p-Sobolev flow2019

    • 著者名/発表者名
      Tuomo Kuusi, Masashi Misawa, Kenata Nakamura
    • 雑誌名

      Journal of Geometric Analysis

      巻: to appear ページ: 印刷中(44ページ)

    • DOI

      to appear

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Existence of a weak solution to the p-Sobolev flow2018

    • 著者名/発表者名
      Kenta Nakamura, Masashi Misawa
    • 雑誌名

      Nonlinear Analysis

      巻: 175 ページ: 157-175

    • DOI

      https://doi.org/10.1016/j.na.2018.05.016

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Remarks on weakly stationary maps into spheres2018

    • 著者名/発表者名
      Masashi Misawa, Nobumitsu Nakauchi
    • 雑誌名

      Rend. Circ. Mat. Palermo, II. Ser

      巻: 印刷中 ページ: 印刷中(10ページ)

    • DOI

      https://doi.org/10.1007/s12215-018-0350-1

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Monotonicity estimate and global existence for the p-harmonic flow2018

    • 著者名/発表者名
      Masashi Misawa (三沢 正史)
    • 雑誌名

      数理解析研究所講究録

      巻: 2095 ページ: 188-197

  • [学会発表] Regularity for the p-Sobolev flow2018

    • 著者名/発表者名
      三沢 正史
    • 学会等名
      第36回 九州における偏微分方程式研究集会
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] A doubly nonlinear degenerate singular parabolic equation and a nonlinear eigenvalue problem2018

    • 著者名/発表者名
      三沢 正史
    • 学会等名
      「関数空間の深化とその周辺」京都大学数理解析研究所, 共同研究集会
    • 招待講演
  • [学会発表] A doubly nonlinear parabolic type equation and the p-Sobolev flow2018

    • 著者名/発表者名
      Masashi Misawa
    • 学会等名
      2018 PDEs workshop in Hangzhou
    • 国際学会 / 招待講演

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公開日: 2019-12-27  

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