| 研究課題/領域番号 |
18K03382
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
大谷 光春 早稲田大学, 理工学術院, 名誉教授 (30119656)
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| 研究分担者 |
内田 俊 早稲田大学, 理工学術院, 助教 (60777986) [辞退]
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 集合値項を持つ偏微分方程式 / 強消散項を持つ波動方程式 / 複素ギンツブルグ - ランダウ方程式 / 非線型境界値問題 |
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| 研究実績の概要 |
(1) 集合値項をもつ半線形放物型方程式に対して得られた結果を，（主要項のラプラシアンを p-ラプラシアンに置き換えた）準線形方程式に対して拡張することに成功した．従来， p-プラシアンに対する楕円型評価の欠如のため，劣ソボレフ臨界増大度の非線形項に対して，半線形方程式で得られたような強解を構成することは困難であると考えられてきたが，楕円型評価に依存しない新たな手法を開発することによってこれを解決した．この問題は，非線形項が一価となる古典的な方程式に対しても長年，未解決のまま残されていた．新たな手法により解決された意義は大きい．
(2) 解の時間微分にLaplacian のα次分数冪を作用させた強消散項を持つ波動方程式が，エネルギークラスの初期値に対して，瞬時に s = min {1/2α,1/2(1-α)}次のGevreyクラスに属するという平滑化現象が示された．s はα=1/2の時，最少(s=1)となり最良のregularity,実解析を持つ．これは，αが増大すれば，放物型性も増すであろうという従来の予想を覆す結果であり，放物型性に関する新たな知見である．
(3) 非線形項がエネルギー増大に作用する複素ギンツブルグ - ランダウ方程式の初期値境界値問題を解析し，劣ソボレフ臨界増大度を満たす非線形項とH1空間に属する初期値に対して，時間局所解の存在と一意性が示された．さらに，初期値を小さく絞った時の時間大域解の存在も示された．
(4) ソボレフ劣臨界増大度の爆発項を持つ非線形放物型方程式の時間大域解は，H1ノルムやL∞ノルムで一様有界となることが，斉次Dirichlet境界条件に対して知られていたが，同様の結果が，消散型非線形境界条件のもとでも成り立つことが示された．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
新型コロナウイルスの世界的蔓延のため，早稲田大学のキャンパス閉鎖に始まり，国内出張・海外出張が不可能となり，国内外の研究協力者との研究連絡が困難な状況が続いているため，当初予定していた研究計画に遅延が生じている．
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| 今後の研究の推進方策 |
(1)集合値項をもつ放物型方程式の可解性を従来のL2空間の枠組みの理論をL∞空間の枠組みに拡張することで，集合値項に課していたソボレフ劣臨界増大度の条件を外すことを目指す(2)強消散項を持つ波動方程式を包含する，Gevrey クラスの平滑化現象を発現する抽象的枠組みを，発展方程式論の立場から構築する．
(3)研究実績(3)の結果を，研究実績(1)で開発された手法を応用し，主要項が p-Laplacian で置き換えられた問題に拡張することを試みる．
(4)非線形境界条件をもつ非線形放物型方程式及び方程式系の爆発解の存在を，爆発解の存在が良く研究されている斉次 Dirichlet 境界条件下の解との比較定理を構築することによって示す．
(5)Viscous Cahn-Hilliard方程式の時間周期解の存在と方程式に含まれるパラメータをゼロに近づけた時の解の漸近挙動を解析する．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルスの国際的な蔓延により，国内・海外出張が実質的に禁止され，予定していた研究連絡のための出張予算が執行できなかった．
国内・海外への往来が可能になり次第，来年度以降，当該予算を使い国内外の研究協力者との研究連絡を密にして，研究計画の遅延を取り戻したい．
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