| 研究課題/領域番号 |
18K03386
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| 研究機関 | 福岡大学 |
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研究代表者 |
仙葉 隆 福岡大学, 理学部, 教授 (30196985)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 走化性方程式 / 知覚函数 / 時間大域的存在 |
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| 研究実績の概要 |
走化性方程式系は化学物質の刺激によって起こる生物の集中現象を説明する為に導出された方程式系であり、知覚関数は化学物質の濃度と生物の反応の関係を表す関数である。本研究では一般的な非線形知覚関数を持つ放物型走化性方程式系に関して、知覚関数と解の挙動との関係を明らかにする事を目的とする。
知覚関数が線形の場合については多くの研究成果が得られており、リアプノフ関数と呼ばれる時刻に関して単調に減少する積分量を研究することでそれらの研究成果が得られている。一方非線形の知覚関数の場合も生物学的な観点で重要な研究対象であるが、リアプノフ関数の存在が未だ知られていない。この事が原因で知覚関数が非線型の場合の研究手法が確立されておらず十分な研究成果が得られていない。
本研究では、解が時間発展する場合と定常解の場合の差異を表す関数（以後、この関数を比率関数と呼ぶ。）と比率関数が満たす方程式系を研究することを計画し、このことにより非線形知覚関数を持つ走化性方程式系の解を研究する有効な手法を確立することを最初の目的とした。
この目的に沿って研究を行い、一方の時定数が非常に小さな場合の非線形知覚関数を持つ走化性方程式系のすべての解が時間大域的存在する為の知覚関数の十分条件を得た。さらにここで得られた十分条件は、必要条件でもあることが以下の考察から期待される。
研究対象とした走化性方程式系は一方の時定数を0とした極限方程式が非局所的非線型項を持つ拡散方程式（以後、対応する非線型拡散方程式と呼ぶ。）となることが知られている。今回走化性方程式系で得られた十分条件は、対応する非線型拡散方程式の解が時間大域的に存在する為の必要十分条件になっていることが先行研究により明らかになっている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
前述のように知覚関数が線形の場合にはリアプノフ関数が知られており、その発見は1990年代である。それから現在まで非線形知覚関数を持つ走化性方程式系に対するリアプノフ関数やそれに似た性質を持つ関数（以後、擬似リアプノフ関数と呼ぶ。）に関して様々な試みがなされてきたが、知覚関数が非線形の場合にはリアプノフ関数や擬似リアプノフ関数の存在は未だ知られていない。この状況を踏まえて、申請者は非線形知覚関数を持つ走化性方程式系の研究においてリアプノフ関数を用いた研究に代わる研究手法が必要であり、その候補の一つとして以下に述べる走化性方程式系の変換によって得られる新たな未知関数に関する研究が有効であると考えている。走化性方程式系は時間発展方程式であるが、時刻によらない定常解においては2つの未知関数が知覚関数によって関係付けられる。本研究では、解が時間発展する場合と定常解の場合のこの関係の差異を表す比率関数と比率関数が満たす方程式を研究することを計画しており、このことにより非線形知覚関数を持つ走化性方程式系の解を研究する有効な手法を確立することを最初の目的とする。
上記の本年度研究計画に沿って研究を行い、一方の時定数が非常に小さな場合の非線形知覚関数を持つ走化性方程式系のすべての解が時間大域的存在する為の知覚関数の十分条件を得た。さらに研究対象とした走化性方程式系の一方の時定数を0とした極限方程式が非局所的非線型項を持つ拡散方程式となり、その非線型拡散方程式の解に対してが今回走化性方程式系で得られた十分条件が必要十分条件になっていることが先行研究により明らかになっている。
このような研究成果が当初の計画に沿った研究から得られたことで本研究がおおむね順調に進展していると判断した。
上記の本年度研究計画に照らして以下の研究成果が出たことはおおむね順調に進展していると判断している。
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| 今後の研究の推進方策 |
前述のように申請者は非線形知覚関数を持つ走化性方程式系の研究においてリアプノフ関数を用いた研究に代わる研究手法が必要であり、その候補の一つとして以下に述べる走化性方程式系の変換によって得られる比率関数が満たす方程式を研究する事を計画し、現在の進捗状況の欄に記載した通りこの研究はおおむね順調に進展している。
この状況を踏まえ、今後も比率関数並びにそれを満たす方程式系の研究を推進していくことを計画している。
現段階では連立偏微分方程式である走化性方程式系の一方の時定数が十分小さい場合や十分大きな場合に成果が得られていることを踏まえて、一方の時定数が０又は無限大になったときの極限方程式系とそれを満たす解の関係について研究することを計画している。時定数が０又は無限大になったときの極限方程式系（以後単に、極限方程式系と呼ぶ）は比較的解の構造が調べやすい方程式系になっていることが予想されるため、この研究を通して、非線型知覚関数を持つ走化性方程式系の系の性質が明らかになると考えている。
さらに、時定数の大きさに制限がない場合についても比率関数の研究を用いて解が大域的に存在するための知覚関数の条件を研究することを計画している。しかしながら、この場合の解の性質は時定数が０又は無限大に近い場合の解の性質と異なる可能性がある。このことを踏まえてこの研究は、比率関数並びにそれが満たす方程式系の数学解析的な研究と並行して数値解析的な研究も計画している。
以上のように本年度以降の研究の方策は、当初の計画からの大きな変更の必要がないと考えているが数値解析的な結果を踏まえながら今後も研究計画に必要な微調整を行いながら研究を遂行していくことを計画している。
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