2019 年度実施状況報告書

非線形知覚関数を持つ走化性方程式系の解構造の解明

研究課題

研究課題/領域番号	18K03386
研究機関	福岡大学
研究代表者	仙葉隆福岡大学, 理学部, 教授 (30196985)
研究期間 (年度)	2018-04-01 – 2023-03-31
キーワード	走化性方程式系 / 知覚関数 / 時間大域的存在
研究実績の概要	走化性方程式系は化学物質の刺激によって起こる生物の集中現象を説明する為に導出された方程式系であり、知覚関数は化学物質の濃度と生物の反応の関係を表す関数である。本研究では一般的な非線形知覚関数を持つ放物型走化性方程式系に関して、知覚関数と解の挙動との関係を明らかにする事を目的とした。本研究対象の出発点となったKeller-Segel系の知覚関数は線形関数である。そのことによりリアプノフ関数と呼ばれる時刻に関して単調に減少する積分量の存在が知られており、リアプノフ関数を解析することにより多くの研究成果が得られている。一方、非線形の知覚関数を持つ走化性方程式も生物学的な観点で重要な研究対象であるが、リアプノフ関数の存在が未だ知られていない。この事が原因で知覚関数が線形関数と異なる場合の走化性方程式系の研究手法が確立されておらず十分な研究成果が得られていない。本研究では、線形の知覚関数を持ち、リアプノフ関数の存在が知られている方程式系について、研究に有用なリアプノフ関数以外の関数を見つけることを目的とした。当該年度は上記の目的に沿って研究を行い、1次元上の非線形拡散項を持つ走化性方程式系に対して今まで知られていなかった疑似リアプノフ関数を構成し、その挙動を調べることによって解の時間大域的有界性を示した。この方程式系は、よく知られたリアプノフ関数を持つが、それによって得られる解の性質は結論を得るためには不十分なものであり、疑似リアプノフ関数を解析することにより有用な解の情報が得られた。この研究成果は、リアプノフ関数以外にも研究に有効な関数の存在を示唆しており、今後本研究の疑似リアプノフ関数の構成方法を再検討することにより、本研究の進展に有効な情報が得られると考える。
現在までの達成度 (区分)	現在までの達成度 (区分) 2: おおむね順調に進展している理由研究実績の概要で述べたように知覚関数が線形の場合にはリアプノフ関数が知られており、その発見は1990年代である。それから現在まで線形知覚関数を持つ走化性方程式系に関しては、リアプノフ関数を用いて様々な研究がなされている。それらの研究は、リアプノフ関数を持つ系として一般化された走化性方程式系を対象にした方向に発展してきた。一方、非線形知覚関数を持つ走化性方程式系に関しては、リアプノフ関数の存在は未だ知られていないため、ほとんど進展がなかった。この状況下において、現在まで非線形知覚関数を持つ走化性方程式系を研究対象とする本研究では以下の進展があった。平成30年度は、非線形知覚関数を持つ走化性方程式系の解に対して、時間発展する解と定常解の差異を表す関数（以後、この関数を比率関数と呼ぶ。）と比率関数が満たす方程式系を研究することにより、解が時間大域的に存在し有界であるため十分条件を知覚関数と相空間の次元の関係を用いて明らかにした。令和元年度は、研究実績の概要の欄に記載したように、走化性方程式系がよく知られたリアプノフ関数を持つ場合でもそのリアプノフ関数の研究からは十分な情報が得られない場合に、それに代わる疑似リアプノフ関数を構成することによって十分な情報を得ることができた。今後、この研究によって得られた疑似リアプノフ関数の構成方法を再検討することにより、リアプノフ関数に代わる関数の研究が進展すると考える。このような研究成果が当初の計画に沿った研究から得られたこと、現在までの研究成果を踏まえて次年度の研究方向が明確に得られたことを踏まえ、本研究がおおむね順調に進展していると判断した。
今後の研究の推進方策	前述のように申請者は非線形知覚関数を持つ走化性方程式系の研究においてよく知られたリアプノフ関数を用いた研究に代わる研究手法が必要であり、その候補として現在まで、時間発展する解と定常解の比率を表す関数とその関数が満たす方程式の研究、よく知られたリアプノフ関数にかわる疑似リアプノフ関数を構成やその解析に関する研究を行ってきた。今後もこれらの研究を推進するために以下方策を計画している。前者の研究に関して現在まで非線形知覚関数を持つ走化性方程式系の定常解と時間発展する解の比率を表す関数を研究することによって解が時間大域的に存在するための条件を明らかにした。この方法を発展させて、爆発解に関する研究を行っていくことを計画している。後方自己相似解は自己相似変換することにより新たな変数に関する方程式系の定常解とみなすことができる。方程式系を新たな変数で書き換えた際の定常解と時間発展する解の比率を調べ、時間大域的な挙動を研究することにより自己相似解と異なる爆発解の挙動を調べることを計画している。後者については、現在まで時定数と呼ばれる方程式系の中にある正定数が非常に小さい場合や非常に大きい場合について研究成果を得ていること、そしてその時定数が０又は無限大になったときの極限方程式系（以後単に、極限方程式系と呼ぶ）は比較的解の構造が調べやすい方程式系になっており、その極限方程式がリアプノフ関数を持っていることに注目して、時定数が小さい場合や大きい場合の方程式系と極限方程式が持っているリアプノフ関数を摂動した関数との関係を研究することを計画している。このように、当初の計画からの大きな変更の必要がないと考えているが数値解析的な結果を踏まえながら今後も研究計画に必要な微調整を行いながら研究を遂行していくことを計画している。
次年度使用額が生じた理由	昨年度末からの新型コロナウイルス感染拡大にともなう移動の自粛要請に従い、当該年度に計画していた県外で開催予定の研究集会の出席や成果発表、さらに関連する研究者との討論を中止せざるを得なくなった。その代替え措置として、当該の出張経費を次年度以降の成果発表、関連する研究者との討論のための出張旅費として使用することとした。しかし、本年度初めの状況を踏まえると移動の自粛要請が続くことが予想されるため、対面での研究発表や関連研究者との討論に加えて、Web会議用ソフトを用いた討論、研究発表も計画している。そのための、通信機器などのインフラ整備が必要となる。このことにも前年度未使用分の経費を使用することを計画している。また、現在本学教員は原則自宅において研究活動ならびに教育活動を行っており、当分の間この状況が続くことが予想される。しかし、大学の研究室に設置されている設備を全て自宅に移動することは難しく、前述した通信機器以外にも新たに自宅における研究設備を整備する必要がある。その中で、所属している大学の経費ではそろえることのできない物品費にも本経費を使用する予定にしている。