非線形知覚関数を持つ走化性方程式系の解構造の解明

2020 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 18K03386
• 研究機関: 福岡大学
• 研究代表者: 仙葉 隆 福岡大学, 理学部, 教授 (30196985)
• 研究期間 (年度): 2018-04-01 – 2023-03-31
• キーワード: 走化性方程式 / 知覚関数 / 時間大域的存在

研究実績の概要

走化性方程式系は化学物質の刺激によって起こる生物の集中現象を説明する為に導出された方程式系であり、2本の放物型方程式の組である。知覚関数は化学物質の濃度と生物の反応の関係を表す関数である。 本研究では一般的な非線形知覚関数を持つ放物型走化性方程式系に関して、知覚関数と解の挙動との関係を明らかにする事を目的とした。
本研究対象の出発点となったKeller-Segel系の知覚関数は線形関数である。そのことによりリアプノフ関数と呼ばれる時刻に関して単調に減少する積分量の存在が知られており、リアプノフ関数を解析することにより多くの研究成果が得られている。一方、非線形の知覚関数を持つ走化性方程式については、リアプノフ関数の存在が未だ知られていないため十分な研究成果が得られていない。
本研究では、リアプノフ関数を用いた研究に代わる有用な研究手法を見つけることを目的とし、当該年度は拡散項が未知関数によって表現される走化性方程式系（以後、純線形走化性方程式系と呼ぶ。）の解について考察を行った。この方程式系は、拡散項が未知関数の指数関数の場合は線形知覚関数をもつ走化性方程式と対応しておりリアプノフ関数を持つが、拡散項が未知関数の不冪で表現される場合は非線形知覚関数を持つ走化性方程式と対応しておりリアプノフ関数の存在は不明である。今年度は、これらどちらの場合についても、有限時刻爆発解が起こらないことを示した。この研究では、2本の放物型方程式の組で表現されている走化性方程式系の内の1本を楕円型方程式に替えた方程式系（以後、補助系と呼ぶ。）、並びに元の方程式系と補助系の解の関係を表す微分方程式（以後、関係方程式と呼ぶ。）を解析するという手法を用い、解の時間大域的存在と有界性を示した。
補助系と関係方程式を用いた手法を発展させて非線形知覚関数をもつ走化性方程式系に応用できると考えている。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

研究実績の概要で述べたように知覚関数が線形の場合の走化性方程式やそれに対応する準線形走化性方程式系はリアプノフ関数を持つことが知られており、リアプノフ関数を用いて様々な研究成果が得られている。しかし、研究業績の欄に述べた非線形知覚関数を持つ走化性方程式系に関して、リアプノフ関数の存在は未だ知られていないため、ほとんど進展がない。
この状況下において本研究では以下の進展があった。
平成30年度は、時間発展する解と定常解の差異を表す関数（以後、この関数を比率関数と呼ぶ。）と比率関数が満たす方程式系を研究することにより、解が時間大域的に存在し有界であるため十分条件を知覚関数と相空間の次元の関係を用いて明らかにした。
令和元年度は、準線形走化性方程式系がよく知られたリアプノフ関数を持つ場合でもそのリアプノフ関数の研究からは十分な情報が得られない場合に、それに代わる疑似リアプノフ関数を構成することによって十分な情報を得ることができた。今後、この研究によって得られた疑似リアプノフ関数の構成方法を再検討することにより、リアプノフ関数に代わる関数の研究が進展すると考える。
令和2年度は、補助系（研究実績の概要参照）と関係方程式(研究実績の概要参照）を解析するという手法を用いた。補助系は元の方程式系の解と変換した解を未知関数として含んでおり、一見したところ解析が困難に見えるが、元の方程式系の解と変換後の解とを比較する不等式の導出に成功したことにより、補助系の解析が容易になった。以上の手法を用いて準線形走化性方程式系が時間大域的解をもつことを示した。
このように、リアプノフ関数の手法に代わるいくつかの手法を用いた研究が得られていることを踏まえると本研究がおおむね順調に進展していると判断した。

今後の研究の推進方策

前述のように申請者は非線形知覚関数を持つ走化性方程式系の研究においてよく知られたリアプノフ関数を用いた研究に代わる研究手法が必要であり、その候補として現在まで、有用な補助系(研究業績の概要参照)の研究、疑似リアプノフ関数の構成やその解析に関する研究を行ってきた。
今後もこれらの研究を推進するために以下方策を計画している。
前者の研究に関しては、準線形走化性方程式系の解に対して補助系と関係方程式(研究業績の概要参照)を解析することにより解の時間大域的存在を示すことに成功した。この解析において元の方程式系の解と補助関数の解に関する不等式が重要であり、今後この不等式を精密化する研究を行うことで研究が進展すると考えている。
後者については、現在まで時定数と呼ばれる方程式系の中にある正定数が非常に小さい場合や非常に大きい場合について研究成果を得ていること、そしてその時定数が時定数が０又は無限大になったときの極限方程式系は比較的解の構造が調べやすい方程式系になっており、その極限方程式がリアプノフ関数を持っていることに注目して、時定数が小さい場合や大きい場合の方程式系と極限方程式が持っているリアプノフ関数を摂動した関数との関係を研究することを計画している。
さらに準線形走化性方程式系の爆発解に関して、後方自己相似解の研究を行うことを計画している。後方自己相似解は自己相似変換することにより新たな変数に関する方程式系の定常解とみなすことができる。方程式系を新たな変数で書き換えた際の定常解と時間発展する解の形状や積分量を比較し、時間大域的な挙動を研究することにより自己相似解と異なる爆発解の挙動を調べることを計画している。
このように、当初の計画からの大きな変更の必要がないと考えているが数値解析的な結果を踏まえながら今後も研究計画に必要な微調整を行いながら研究を遂行していくことを計画している。

次年度使用額が生じた理由

新型コロナウイルス感染拡大にともなう移動の自粛要請に従い、当該年度に計画していた県外で開催予定の研究集会の出席や成果発表、さらに関連する研究者との討論を中止せざるを得なくなった。その代替え措置として、当該の出張経費を次年度以降の成果発表、関連する研究者との討論のための出張旅費として使用することとした。
しかし、本年度初めの状況を踏まえると移動の自粛要請が続くことが予想されるため、対面での研究発表や関連研究者との討論に加えて、Web会議用ソフトを用いた討論、研究発表も計画している。そのための、通信機器などのインフラ整備が必要となる。このことにも前年度未使用分の経費を使用することを計画している。
また、現在本学教員は自宅及び在籍する大学の居室において研究活動ならびに教育活動を行っており、大学外の研究者とは通信により情報交換や討論を行っている。平成3年度もこの状況が続くと予想される。大学の研究室に設置されている設備は、出張等による討論や情報交換を想定して整備しているものであるため、この状況下で研究を継続するためには、前述した通信機器以外にも新たに研究設備を整備する必要がある。その中で、所属している大学の経費ではそろえることのできない物品費にも本経費を使用する予定にしている。