| 研究課題/領域番号 |
18K03386
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| 研究機関 | 福岡大学 |
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研究代表者 |
仙葉 隆 福岡大学, 理学部, 教授 (30196985)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 非線形知覚関数 / 走化性方程式系 |
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| 研究実績の概要 |
走化性方程式系は、化学物質の刺激によって起こる生物の集中現象を説明する為に導出された方程式系であり、知覚関数は化学物質の濃度と生物の反応の関係を表す関数である。現在、知覚関数が線形の場合に関して多くの成果が得られている。本研究では一般的な非線形知覚関数を持つ走化性方程式系に関して、解の挙動と知覚関数との関係を明らかにする事を目的とする。知覚関数が線形の場合については多くの研究成果が得られており、リアプノフ関数と呼ばれる時刻に関して単調に減少する積分量を研究する事でそれらの研究成果が得られている。一方非線形の知覚関数の場合も生物学的な観点で重要な研究対象であるが、その場合にはリアプノフ関数の存在が未だ知られていない。
当該年度は、走化性方程式の中で非局所走化性方程式系と呼ばれる方程式系について、補助関数を用いて解の積分量を評価することに成功した。この評価を用いることにより、知覚関数が対数関数の正定数倍であるとき、その正定数がn/(n-2)より小さい時、全ての解は時間大域的に存在し有界であることを示した。ここで、nは空間の次元であり、3以上の自然数である。我々は、正定数がn/(n-2)より大きなとき、非有界な解を持つと予想しており、n/(n-2)は方程式系の解の性質を分ける閾値であると予想している。その意味で、当該年度における我々の成果は、n/(n-2)が閾値であると言う予想に対する肯定的な証拠となっている。
また、知覚関数が線形である局所的走化性方程式系の後方自己相似解の構成に成功した。この方法は、リアプノフ関数を用いておらず非線形知覚関数を持つ走化性方程式にも適応可能であると考えている。その意味で、この結果は本研究の進展に役立つものであると考えている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の目的は本研究の目的は、非線形知覚関数をもつ走化性方程式系の解の研究手法を確立し、それを用いて知覚関数と解の性質の関係を研究することであるが、本研究期間内に明らかにする事項を以下のように限定した。
非線形知覚関数を持つ走化性方程式系の解の性質を研究し、線形知覚関数の場合に知られている解の性質と比較することであった。この研究に対して「研究実績の概要」で述べたように知覚関数が定数倍の対数関数の場合について、その定数が閾値より小さな定数の場合に方程式系は非有界な解や爆発解を持たないことを示すことができた。さらに、この成果に用いた手法は、補助関数を用いた解の評価であり、この手法は知覚関数が線形の場合に知られているリアプノフ関数を用いる手法とは異なり、対数関数以外の非線形知覚関数についても適応ができると考えている。この意味で、非線形知覚関数をもつ走化性方程式の解析手法の確立という本研究の目的も概ね順調に進展していると考えている。
また、「研究業績の概要」でも述べたとおり、線形の知覚関数を持つ走化性方程式系の後方自己相似解の構成に成功しており、この手法もリアプノフ関数を用いない方法であり、現在この手法を用いて対数型の知覚関数を持つ走化性方程式系の爆発解の構成の研究を行っている。
以上、本研究は、非線形知覚関数を持つ走化性方程式系の解の解析についての目標、それら解の解析手法の確立についての目標のどちらの目標に関しても成果が得られており、本研究課題は概ね順調に進展していると考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
当該年度における解そのものの研究については、知覚関数が対数関数の場合について閾値より小さい場合についての研究成果のみであったが、この研究手法を用いて一般の非線形知覚関数について、対数関数の閾値に対応する条件を見出すことを目標に研究を進めていく。しかしながら、本研究期間内に全ての関数を対象に方程式系が非有界な解や爆発解を持たない条件を明らかにすることは難しいと考えているので、対数関数に漸近的に近づく関数を対象に研究を進めることを予定している。
「現在の進歩状況」の欄に書いたように、線型知覚関数を持つ走化性方程式系の爆発解の構成に成功しており、その構成方法はリアプノフ関数を用いない方法である。現在、その方法を用いて、知覚関数が対数関数の定数倍でときの走化性方程式系の爆発解の構成を試みており、この研究を今後も継続している予定である。しかしながら、閾値より大きな全ての定数について爆発解を構成することは難しいと考えており、当初は閾値より大きな特別な定数の場合に絞って爆発を構成することを予定している。
特に上記の手法として、定常解からの摂動を用いて構成する方法と定常解の変分法的な特徴を用いて構成する方法の2通りの方法を用いて解を構成することを予定している。
前者の手法に関しては、対応する線型方程式の有界な解が構成できる条件を明らかにすることが主な研究となる。当該の線型方程式は、後方自己相似解の爆発レートと凝縮のレートをパラメーターする方程式であり、適切なパラメーターを見出し、対応する線型方程式の有界な解を構成する。
後者については、リスケーリングした方程式系の定常解の周りでの線系作用素の核を具体的に構成し、その核と直交する近似解を構成することが主な研究となる。現状では、線系作用素の核の構成に成功しており、今後それを用いて近似解を構成する予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本研究経費は、平成30年度から令和4年度の期間における研究を実施するために使用する予定で申請したものである。特に、本研究に関わる経費の多くが、国外を含む遠方の研究機関で行われる学会・研究集会への出席やそこで研究に従事している研究者との討論を行うための出張旅費が大部分を締めていた。しかしながら、新型コロナウイルス感染症の感染拡大による移動の自粛により、他の研究者との討論や情報交換の機会が失われ、同時に予定していた出張も中止せざるを得なかったために、経費の執行が大幅に遅れた。
昨年度後期より移動制限が緩和され、前述した研究集会や関連する研究者との討論の機会も少しずつ増えてきたが、数年に渡る移動自粛による経費執行の遅れを昨年度末までに取り戻すことは難しかった。
前述した移動自粛による研究集会への出席や関連する研究者との討論はzoom等を用いて研究集会の開催や研究者との交流を行うことで継続することができ、当初の計画の範囲内での進展がみられたが、対面での討論に比べて情報量が少ないと考えている。そのため、移動自粛制限が緩和された状況下で、研究集会の参加も含めて対面による他の研究者との討論を行うことで十分な情報を取得し、それを用いることで本研究を更に進展させたいと考えている。
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