| 研究課題/領域番号 |
18K03387
|
|---|
| 研究機関 | 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群) |
|---|
研究代表者 |
渡邉 宏太郎 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 電気情報学群, 教授 (30546057)
|
|---|
| 研究分担者 |
塩路 直樹 横浜国立大学, 大学院工学研究院, 教授 (50215943)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
|
| キーワード | 正値球対称解 / 一意性 / p-ラプラス作用素 / Sobolev不等式 / 最良定数 |
|---|
| 研究実績の概要 |
Kolodner-Coffmanの方法とよばれる方法（シューティング法の一種）を用いて半線形楕円型方程式の正値球対称解の一意性について考察した．領域は円環領域とし，境界条件はDirichlet条件である．この問題に対する先駆的な研究としてNi-Nussbaum, (1985)，Korman (2001)等の結果があげられるが，これらに仮定されていた非線形項に対する仮定を弱めることができた（塩路直樹氏，田中敏氏との共同研究）．アプローチの方法としては，方程式の解がみたす，ある種の微分恒等式をつくり，比較関数をうまく選び矛盾を導くやり方である．微分恒等式のつくり方，及び比較関数の選び方には自由度があり，これらの選び方により，結果のシャープネスが変わってくるため，その選び方は重要となる．
この方法は解の多重存在を示す際にも有用であることが，興味深いと思われる．実際，解の一意性を示すことを目的とする場合は，元の方程式の線形化方程式のモース指数が1であることを示すのに対して，解の多重存在性を目的とする場合は，2以上であることを示す．今後は，正値球対称解の多重存在性についても考察して行きたい．
p-ラプラス作用素を含む半分線形方程式が非自明解をもつための必要条件についても研究を行った（竹内慎吾氏との共同研究）．この必要条件はp=2の場合は，Lyapunov不等式としてよく知られている．結果を得るために一般化三角関数，一般化双曲線関数の性質を用いてある種のSobolev不等式の最良定数を求める．結果は日本数学会2020年度年会で文面の形で報告した．この研究と関連する研究として，離散型Sobolev不等式の研究を亀高惟倫氏，永井敦氏，武村一雄氏，山岸弘幸氏，關戸啓人氏と進めた．
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
当該年度において，半線形楕円型方程式の正値球対称解の一意性，p-ラプラス作用素を含む半分線形方程式が非自明解をもつための必要条件についていくつかの結果を得ることができた．しかしながら，それらの結果の印刷媒体への報告という観点からは，遅れが目立っている．この意味で進捗状況を「やや遅れている」とした．次年度も当該研究継続予定のため，遅れを取り戻すようにしたい．
|
| 今後の研究の推進方策 |
当該年度は半線形楕円型方程式の正値球対称解の一意性について考察したが，解の一意性を示すための方法は，解の多重存在を示す方法に共通する部分がある．今後は，Kolodner-Coffmanの方法の使用法として，解の多重存在を示す方向にも取り組む．
p-ラプラス作用素を含む半分線形方程式が非自明解をもつための必要条件については，当該年度取り組んだのはp-ラプラス作用素であったが，今後は，これを拡張した微分作用素が現れる問題に取り組みたい．
当該年度までに得られた結果をまとめる作業がやや遅れているので，その点についても注意して実行する．
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
年度末に計画していた研究集会の中止により，旅費が余剰した要因が大きい．次年度もこのような場合，物品費，特に図書購入にあて利用可能な文献の拡充につとめる．
|
