多変数多項式系の主変数消去法の革新的高速化の研究

2023 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 18K03389
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分12030:数学基礎関連
• 研究機関: 筑波大学
• 研究代表者: 佐々木 建昭 筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (80087436)
• 研究期間 (年度): 2018-04-01 – 2024-03-31
• キーワード: 多変数多項式系の変数消去 / 終結式 / 終結式の余計因子 / グレブナー基底 / グレブナー基底法 / 多項式イデアル / イデアルの最低元 / Buchbergerの算法

研究成果の概要

多変数多項式系の変数消去には、終結式法とグレブナー基底(G基底)法がある。前者は速いが大きな余計因子を含み、後者は結果式は完璧だが計算量が二重指数的との欠点がある。
まず二多項式系 {G,H} に対して,終結式 R=res(R,H)とAG + BH = Rを満たすA,Bを計算すればＧＣＤ(最大公約子)演算により余計因子が完全に除去できる事を証明した。次に(m+1)多項式系(m>2)では、変数の順序を変えて複数通りの変数消去を行えば、それらのＧＣＤよりイデアル最低元の小倍数が計算できる。他にも多くの小倍数計算法を与えた。
コロナ期間中は剰余列からＧ基底要素を直接計算する効率的算法を考案した。

自由記述の分野

Computer algebra

研究成果の学術的意義や社会的意義

The bone of Buchberger's algorithm for Groebner basis computation has been almost unchanged more than 60 years, and we had no method for extraneous factor removal for resultants.
This research gave solutions for these many-years unsolved problems, although they must be revised still more.