| 研究課題/領域番号 |
18K03390
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| 研究機関 | 横浜国立大学 |
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研究代表者 |
中本 敦浩 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 教授 (20314445)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 幾何学的四角形分割 / 平面の点配置 / 対角変形 |
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| 研究実績の概要 |
平面に点配置Pを与え，その凸包の境界を外領域とし，すべての点を頂点とし，すべての辺が直線分であるような三角形分割をPの幾何学的三角形分割という．点配置の幾何学的三角形分割の研究は，ボロノイ図やドロネー三角形分割との関連で，これまで多くの研究がなされてきた．そして，それらの実社会への応用も多岐にわたる．また，与えられた点配置の異なる幾何学的三角形分割が対角変形と呼ばれる局所変形で互いに移り合うことが知られており，特に，ドロネー三角形分割を基本形として，幾何学的三角形分割の変形可能性を主張する定理が知られている．
一方，数学的には同様の問題が四角形分割についても考えられるが，凸包に現れる頂点の偶奇性に気をつけなければならない．そして，その条件を満たせば，平面上の点配置の四角形分割が存在することは容易にわかる，しかしながら，平面の四角形分割は２部グラフであることから，あらかじめすべての点に白と黒の色を与え，同色の点は結ばないような四角形分割を構成しようとすると，問題は一気に難しくなり，そもそも，その条件では四角形分割は必ずしも存在しない．その場合，シュタイナー点と呼ばれる補助的な点を導入することにより，問題が解決されるが，与えられた点配置に対して，必要なシュタイナー点の個数の評価は最良には至っていない．本研究では，平面に与えられた点配置に対する四角形分割の可能性に関する問題を扱うことにする．シュタイナー点の個数の評価を改良したいと考えており，本年度では，それに関する情報収集を行った．
一方，点配置の四角形分割の体格変形に関する結果はとっかかりがなく，解決の糸口を見いだすことができないでいる．したがって，本年度の研究としては，平面に凸でない偶角形Pを与え，それが幾何学的四角形分割可能か，また，２つの幾何学的四角形分割が互いに移り合うかについて考えた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平面上に必ずしも凸でない偶多角形Pを与え，それが幾何学的四角形分割できるかについては，Pの凹み具合をコントロールする不変量「spirality」を定義し，それを用いて幾何学的四角形分割可能性を述べることに成功した．その結果において，spiralityの条件は最良のものが得られており，改善が不可能な定理となった．
一方，対角変形による変形可能性については，現在までのところ，変形不可能な幾何学的四角形分割の例が存在する多角形のspiralityと，どんな幾何学的四角形分割も変形可能となる多角形のspiralityの評価に差があり，それを埋める努力を行っている．証明のための方針自体は確立できているが，細かい場合分けが必要となってしまっており，そのあたりを包括的に議論するためのアイデアが欠落した状態である．これまでに共同研究者たちと，かなり緻密な議論を重ね，少しずつ良いアイデアが出つつあるが，まだ解決には至っていない．次年度にはその部分を攻略するための研究を行いたいと考えている．
その変形可能性の問題になかなか完全な解答が与えられないなか，偶多角形の四角形分割可能性を単にspiralityの高さのみで与えるのではなく，spiralityとそれに応じた個数のシュタイナー点の追加により，行うという問題を設定を行うことができ，最近，その解決に取り組み始めた．
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| 今後の研究の推進方策 |
平面の偶多角形の幾何学的四角形分割の対角変形による変形可能性について，場合分けが発散するという問題をうまく解決するための議論を行う．これについては，計算機処理などの可能性も考えてみたいと考えている．そして，本研究の許された期間内で何とか解決できるよう努力したいと思う．
また，上にも述べたが偶多角形Pの幾何学的四角形分割可能性を凹みとシュタイナー点の追加で行うという問題について，いろいろと研究をしてみたいと考えている．例えば，spiralityが高い偶多角形はspiralityは，spiralityが低い偶多角形に綺麗に分割できるか．その事実が証明できれば，問題はある程度簡単に解決されるはずである．その方向性から問題の攻略に挑みたいと考えている．
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