| 研究課題/領域番号 |
18K03390
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| 研究機関 | 横浜国立大学 |
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研究代表者 |
中本 敦浩 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 教授 (20314445)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 幾何学的グラフ / 平面グラフ / 四角形分割 / 局所変形 |
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| 研究実績の概要 |
平面上の点配置から、各面が三角形となる幾何学的グラフを構成しよう。それを点配置の三角形分割という。点配置Sの、どの2つの三角形分割も、ある局所変形で互いに移り合うかどうかに関す研究が盛んにおこなわれている。これらは、点配置から定まるボロノイ図など実用的な分野と豊かに関連し、離散幾何学における有名な問題の1つとなっている。
一方、点配置から定まる「各面が四角形となる幾何学的グラフ」を考えることもでき、それを点配置の四角形分割と呼ぶことにすると、それらに関する研究はほとんど見られない。まず、与えられた点配置Sが四角形分割を持つかどうかの問題を考えると、たちまち偶奇性の制約が現れ、必ずしも四角形分割を持たないことがあり得る。したがって、Sがどのような条件を満たすとき、四角形分割をもつのか、また、Sに何か不可的な構造を与えて、四角形分割をもつようにできないかというのが自然な問題として考えられる。その両者に対して、先行研究があり、本研究では、それらを融合して、新しい観点から研究を行おうとしている。
それらの問題のとっかかりとして、私たちは、平面上に必ずしも凸でない多角形を与え、それらが四角形に分割できるかという問題を考えている。そのような設定の問題では、ある部分はうまく解決されたが、以下で述べるように、根本的な部分での完全解決が得られていない。本研究では、その部分の解決を目指し、さらに研究を深めたいと考えている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
点配置Sが四角形分割をもつかどうかについては、Sの凸包の頂点数の偶奇性という、極めて組合せ的条件で述べられることがわかる。ゆえに、Sの各頂点に色を与え、どの辺も同色頂点を結ばないという制約を与えると本問題は興味深い設定となり、色付けられたるSは、必ずしも四角形分割を持たない。そこで、シュタイナー点という概念を導入し、Sとシュタイナー点を頂点集合とする四角形分割を考えるという発想に至る。
その考え方を活かし、私達は、一般に、必ずしも凸でない多角形Pを平面上に配置し、その内部を四角形分割できるかという問題に行き着いた。そのためのPの条件を研究すること、一方、Pの内部にシュタイナー点を配置し、四角形分割を構成するという2つの方向性から研究を行なっている。
前者に対しては、多角形のspiralityという概念を新しく定義し、その概念を用いてPが四角形分割できるための条件を与えることができた。ただし、その条件を必要十分条件にするための議論が難しく、完全解決には至っていない。
後者の問題関しては、spiralityとシュタイナー点の個数の綺麗な関係を指摘することができ、現在、それを述べた論文を投稿中である。
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| 今後の研究の推進方策 |
上で述べたように、与えられた多角形が四角形分割できるための、spiralityに関する条件を必要十分条件にすることが、当面の私たちの解決すべき問題となっている。いくつかのアイデアが出てきているが、コロナ禍による共同研究の機会の喪失がネックとなり、それらを精査する段階に至っていない。事実、本研究の最終年にあたる２０２０年度は、研究による出張が全くできておらず、共同研究者と対面での議論をすることができなかった。本研究計画は２０２１年度まで延長することができたので、２０２１年度は。上述の課題を解決すべく研究に取り組みたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
２０２０年度は、コロナ禍による出張制限や、所属大学におけるオンライン講義への対策のため、研究は完全にストップしてしまった。その計画をそのまま２０２１年度の研究計画とし、研究に取り組む予定である。
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