| 研究課題/領域番号 |
18K03391
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| 研究機関 | 横浜国立大学 |
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研究代表者 |
小関 健太 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 准教授 (10649122)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | Hamiltonian cycle / Coloring |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は，閉曲面上のグラフについて，ハミルトン閉路を利用した新しい彩色の手法を提案することである．この目的達成ため，2019年度は以下のような研究を行った．
まず，ハミルトン閉路及び関連構造自体の研究でいくつかの成果を得た．これについては，特に「Types of triangle in Hamiltonian triangulations and an application to domination and k-walks」という論文において，4-連結，または 5-連結の平面三角形分割におけるハミルトン閉路が各三角形の辺を何辺使っているかで分類し，そのそれぞれの分布を調べている．あるハミルトン閉路で 2辺使われる三角形が少なければ少ないほど，そのハミルトン閉路を利用してある種の彩色や支配集合を得ることができるため，その分布は応用に直結する．本研究では，そのほぼ最善な評価を得た．また，ハミルトン閉路が存在するための十分条件等の研究も行い，いくつかの結果も得ている．
一方で，彩色の研究として 「Extension to 3-colorable triangulations」という題目の論文を執筆した．これは，平面グラフに辺を追加することで，3-彩色可能な三角形分割にしたい，という動機のもと，その十分条件を与えている．これは，閉曲面の基本群というトポロジー的な性質とその彩色的性質の関係を巧妙に使うものである．これは彩色の手法のベースとなるべきアイデアで，今後も研究を継続する．
2019年度は他にも，ハミルトン閉路に関連する構造を保証する十分条件とそれを利用してある種の Ramsey 数の決定や，ハミルトン閉路を利用してグラフのある種の良いデータ構造である本型埋め込みを与えるなどの研究を行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
【研究実績の概要】で述べたように，2019年度は，グラフのハミルトン性や彩色性に関して，さまざまな結果を得ている．本研究の目的であるハミルトン閉路を利用した新しい彩色の手法を提案するために，そのハミルトン性と彩色性の両面で多くの結果が得られたことは，目的達成に近づいていると言える．特に，閉曲面の「トポロジー的な性質」と閉曲面上のグラフの彩色の関係の成果があり，これが本研究の目的に向けて大きな進展であった．したがって，研究は順調に進展している．
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| 今後の研究の推進方策 |
研究はおおむね順調に進展しているため，最終年度である2020年度は研究の集大成として，新しい彩色の手法の提案を目指す．グラフのハミルトン閉路・彩色に関してその両面から研究を進め，それらの研究を結び付けたい．
具体的には，【研究実績の概要】で述べた，「トポロジー的な性質」と閉曲面上のグラフの彩色の関係の成果を発展させる予定である．ここで利用したトポロジー的な性質をハミルトン閉路上で考慮し，さらに発展させることで彩色に結びつけたい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2020年の 2月・3月に予定していた出張等が COVID-19 の流行の影響でキャンセルされ，使用ができなかったため．
2020年度以降に，研究打ち合わせを積極的に行い，その成果を様々な研究集会で講演したい．その際の出張旅費として使用する予定である．
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