| 研究実績の概要 |
本研究では、「よい点配置はあるよい部分構造を含むこと（ラムゼー型問題）」と「よい部分構造を持つ点配置の分類（構成型問題）」の両輪で、よい点配置の特徴づけを行うことを主たる目的としている。
ユークリッド空間の有限部分集合 X の相異なる 2点間の距離が丁度 k-種類現れるとき、X を k-距離集合という。特に正十二面体は 20 点からなる 5-距離集合である。空間と距離の個数 k が与えられたとき、最大の頂点数を持つものを分類することは、距離集合の研究における主問題である。三次元ユークリッド空間においては、4 以下の k に対して最大を与えるものが分類されている。k=5 のとき、最大頂点数は 20 であり、正十二面体の 20 頂点が最大値を与える唯一のものであると予想されていた（正十二面体予想）。本研究では次の 2 つを示すことにより正十二面体予想を解決することができた。（１）三次元ユークリッド空間における、20点 5-距離集合は 8 点 k-距離集合（k=3,4）を含む。（２）8 点 k-距離集合（k=3,4）を含む 20点 5-距離集合は正十二面体の20点に限られる。
本結果をまとめた「A proof of a dodecahedron conjecture for distance sets」が Graphs and Combinatorics に採録されることが決定した。また、関係する研究発表を次の通り行った。（１） 距離集合に関する正十二面体予想について（離散数学とその応用研究集会2020, 2020年8月）, （２）正多面体と距離集合（研究会 直観幾何学2021, 2021年3月）（３）3 次元ユークリッド空間における距離集合の分類問題と関係するグラフ構造（数理情報科学さくらセミナー2021, 2021年3月）。
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