| 研究課題/領域番号 |
18K03397
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
酒井 拓史 神戸大学, システム情報学研究科, 准教授 (70468239)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 公理的集合論 / 反映原理 / 基数算術 |
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| 研究実績の概要 |
本研究は，aleph_3 以上のレベルの反映原理が基数算術に及ぼす影響を調べることを大きな目標にしているが，2018年度は，aleph_3-レベルの定常性反映原理が基数算術に及ぼす影響について研究した．
先行研究で，aleph_2-レベルの定常性反映原理からは連続体濃度（aleph_0の冪集合の濃度）が aleph_2 以下になることと特異基数仮説が帰結されることが知られていた．また，aleph_3-レベルの定常性反映原理を内部到達可能集合属 IA に制限したものからは，連続体濃度が aleph_3 以下になることと特異基数仮説が帰結されることも分かっていた．
本研究では2018年度に，aleph_3-レベルの定常性反映原理を IA(aleph _1) という集合族に制限したものが基数算術に及ぼす影響について調べた．その結果，この定常性反映原理からは連続体濃度の上限が与えれらないことと得意基数仮説が導かれないことが明らかになった．またその系として，aleph_3-レベルの Fodor 型反映原理からも得意基数仮説が導かれないことが分かった．なお，これらの結果は，aleph_n-レベルのものに一般化できると考えている．
さらに，上述の aleph_3-レベルの定常性反映原理を IA(aleph_1) に制限したものが，aleph_1 の冪集合の濃度に及ぼす影響についても考察した．その結果，特定の条件下では，aleph_1 の冪集合の濃度を上げる強制法がこの定常性反映原理を成り立たなくさせることを示すことができた．これは，この定常性反映原理が aleph_1 の冪集合の濃度に与える影響を調べる有力な手がかりになると思われる．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究は，aleph_3 以上のレベルの反映原理が基数算術に及ぼす影響を調べることを中心にしているが，初年度の2018年度は，aleph_3-レベルの定常性反映原理が連続体濃度と特異基数仮説に及ぼす影響を明らかにすることができた．また，この反映原理が aleph_1 の冪集合の濃度に与える影響について研究を進める手がかりを得ることができた．本研究は3年計画であるが，初年度は当初考えていたような成果が得られ，また2年目以降の研究を進める手がかりも得られたので，順調に進んでいると思われる．
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| 今後の研究の推進方策 |
まずは2018年度の研究成果をさらに一般化する方向で研究を進める．2018年度は aleph_3-レベルの反映原理の基数算術に与える影響を研究したが，得られた結果を一般の aleph_n-レベルの定常性反映原理についての帰結に一般化する．これはそれほど難しくなくできると考えている．また，定常性反映原理だけでなく，Rado 仮説など他の反映原理が基数算術に及ぼす影響について考察する．
次に，2018年度に得られた手がかりをもとに，aleph_3-レベルの定常性反映原理が aleph_1 の冪集合の濃度に及ぼす影響について詳しく調べる．またさらにそれを一般化し，aleph_n-レベルの反映原理が aleph_n-2 の冪集合の濃度に及ぼす影響についても考察する．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2018年度にパソコンを一台購入する予定であったが，以前から保有していたパソコンの故障が修理により改善されたため，新規購入を見合わせた．2019年度にパソコンを一台購入する予定にしている．
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