| 研究課題/領域番号 |
18K03398
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
Brendle Jorg 神戸大学, システム情報学研究科, 教授 (70301851)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 数学基礎論 / 集合論 / トポロジー / 測度論 / 強制法 |
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| 研究実績の概要 |
主に、強制法の理論などの洗練された技法を用いて実数全体の組み合わせ論的構造を集合論の観点から調べた。特に、反復強制法の理論と、実数直線の構造を説明する、最小の非可算基数と連続体の濃度の間の値を取り得る連続体の基数不変量の相互関係に焦点を絞った。また、これと密接に関連する仕事において、実数の部分集合の定義可能性、計算可能性の理論との関係や、選択公理を満たさないモデルについても研究を行った。
例えば、Cardona と Mejia との共同研究において、行列による反復法に対する新しい保存技術を発展させた。これらの保存技術を、極大のほとんど交わりがない集合族の保存や、Cichon の図式の多くの基数不変量の値が相異なるモデルの構成に応用した。
また、Halbeisen, Klausner, Lischka と Shelah との共同研究において、無限集合の共通部分の漸近密度に基づいて定義されたいくつかの基数不変量についての無矛盾性結果を得た。特に、このコンテキストにおける極大の独立な集合族を付け加える強制法を導入することによって、対応する independence number の共終度が可算であることの無矛盾性を証明した。
さらに、Castiblanco, Schindler, Wu と Yu との共同研究において、Luzin 集合、Sierpinski 集合や、Burstin 基底を含め、連続体の整列順序を含めないモデルを構成した。
その上、Fischer と Khomskii との共著論文において、極大の独立な集合族の射影階層における定義可能性について幾つかの結果を得た。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
連続体の基数不変量の間の大小関係や、その関係を調べるために必要な反復強制法の新しい技術の発展についての研究が円滑に進展している。特に、上記通り、Mejia などの研究者との共同研究で、新しい保存定理が証明でき、多くの基数不変量の値が異なるモデルを得た。また、Halbeisen, Klausner と Lischka との共同研究で、基数不変量の共終度について新しい無矛盾性定理を証明した。しかし、一般化されたベール空間やカントル空間に対する基数不変量についての研究や、計算可能性の理論におけるチューリング次数の高度性質についての研究が少し遅れている。
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| 今後の研究の推進方策 |
最新の反復強制法の技術をはじめ、無限組み合わせ論、計算可能性理論、トポロジーや測度論などの純粋数学の分野の最先端のアイディアを用いて、いくつかの重要な問題の解決に焦点を絞って、基数不変量をいくつかの観点から調べていく。特に、新しい強制法の反復法の開発、一般化されたベール空間の基数不変量と、計算可能性理論において基数不変量と対応するチューリング次数の高度性質について集中的に研究を行っていく。本研究計画の分野については世界的に研究が行われているため、海外の指導研究者との意見交換や共同研究は必要不可欠である。そのため外国旅費に重点をおく研究計画である。現在の令和元年度の主な研究打ち合わせや研究の成果発表の予定は下記通りである。
５月：シンガポール国立大学で行われる、計算可能性理論と集合論についてのプログラムで、Greenberg, Nies などの研究者と「チューリング次数と連続体の基数不変量の類似」という本研究計画のトピックについての共同研究。
７月：ウィーン大学（オーストリア）で行われる集合論についての国際会議の際、Friedman, Fischer などの研究者と「一般化されたベール空間の基数不変量と連続体の基数不変量の相似点と相違点」という本研究計画のトピックについての共同研究。
８月：メキシコ国立自治大学モレリア校の滞在と BIRS-CMO オアハカでの研究集会の際、Hrusak, Guzman などの研究者と連続体の基数不変量のいくつかの観点についての共同研究。
９月：パリ第７大学（フランス）の滞在とマルセイユ大学での研究集会の際、Velickovic などの研究者と新しい強制法の反復法などの関連するテーマについての共同研究。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
残高が小さすぎて、使い道はありませんでした。従って、次年度使用額が生じた。
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