| 研究課題/領域番号 |
18K03401
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| 研究機関 | 学習院大学 |
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研究代表者 |
樋口 雄介 学習院大学, 理学部, 教授 (20286842)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | グラフ理論 / 離散大域解析 / スペクトル幾何 / ラプラシアン / 酔歩 / 状態密度函数 / 量子ウォーク / 脳内辞書ネットワーク |
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| 研究実績の概要 |
本研究における主たるテーマは，古くから知られる酔歩(以下，古典酔歩と呼ぶ)および量子力学の散乱状態を記述していると信じられ昨今量子ウォーク(以下，量子酔歩と呼ぶ)の各種挙動と，それらが行脚する舞台であるグラフの持つ離散幾何構造との関連性の解析となっている．昨年度から引き続いて，古典酔歩と量子酔歩の定常測度の関連とその背後にある共鳴状態の解明をまずの目標としてきた．例えば，有限グラフにいくつかの経路(無限パス)を接続し，その経路から“常に一定量”の波を入射しつづけるモデルおいては，量子酔歩を誘導する古典酔歩の諸性質によって量子酔歩の(このモデルでは存在する)定常測度の表現が変わる．具体的には，古典酔歩が可逆なときは「その可逆測度と電流」で表される一方で，非可逆なときは「変形された電流」のみで表わされる．さらに非可逆な古典酔歩のパラメータを変化させ可逆な酔歩に漸近すると，対応する量子酔歩の定常測度の相対エネルギーは発散してしまい，ゆえに対応する量子酔歩の定常測度は連続的には繋がらないことも分かっていた．その様相はLC回路が見せる共鳴状態と似ていることから，以前からの提唱「量子酔歩は古典酔歩の共鳴性を表面化したもの」という仮説について掘り進めてみた．一方，量子酔歩の定常状態における表面散乱状態については，基礎となる古典酔歩が可逆なときは内部グラフを1頂点に縮約した表面のパス達の間での散乱状態となり，さらに古典酔歩が非可逆なときは各パスにて位相反転(マイナス倍になる)した反射になることが判明した．定常状態自体は当然のように内部の浸透具合に依存するため内部のグラフの構造の影響は受けているにもかかわらず，表面だけに観測を限定すると結果として有限グラフの構造によらない，ということになっている．この結果は意外ではあるが興味深いものであり今後の各種性質の解明に繋がるものと信じている．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
古典および量子酔歩の定常測度の関連において各種の結果を積み重ねられたことは，グラフ上の古典および量子酔歩のスペクトル構造とグラフの幾何構造の理論的体系の構築を目論んだ当該研究の目的に対して進展があったと認められる．とはいえ，COVID-19の終息に関して楽観的な目測を持っていたこと，つまり，前半は出張ができず研究打ち合せが多少滞ることは覚悟していたものの，後半は終息しており，昨年度末から今年度前半にかけての議論不足を補うべく，集中的かつかなりの時間を割いて，様々な分野の研究者たちと議論を交わすつもりにしていた．結果としては，出張できる状態にはまったく戻らず，ゆえに遠隔での議論へのシフトを試みたが，互いの環境整備や意識改革に時間がかかり満足行く状態には至らなかった．応用面への挑戦としての「脳内辞書ネットワーク」の数学的アプローチにむけた実験に関しても項目の整備が多少なされた程度に留まり，実験がいつ開始できるのかについて具体的なイメージを固められないまま現在に至っているのが事実である．COVID-19の終息に期待をかけて来たるべき対面での研究打ち合せの計画をたてていたため，手計算では困難な具体例に対して数値計算を行うための手持ちのPCで下準備のシミュレーションに実行や本格的計算機の導入などにもそれほど時間を割かず，ゆえに理論構築も応用面の発展も，そして計算機での実験も，どれも比較的中途半端になってしまった感は否めない．それでも資料の整理や諸分野の研究結果の収集などにあてる時間がとれたことは，当該研究テーマの進捗状況としては「やや遅れて」しまったものの，今後の発展のための潜在性の蓄積を考えれば，それほど悲観するレベルではないと考えている．
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| 今後の研究の推進方策 |
研究方策としては基本的には昨年度までの継承となるが，研究集会の参加や多様な分野の研究者との交流において，特に昨年度は「従前に戻ることに過度な期待」をして結果として「従来のスタイルでの交流ができず」に終ったことを充分に意識して，同じ失敗を繰り返すつもりはない．
具体的な研究内容に関しては，量子散乱応答問題として提起したモデルでの定常状態は，存在だけでなくその性質も少しずつ解明されてきたが，内部有限グラフでの分布構造と幾何構造の関係，共鳴状態と表面および内部の幾何構造などを詳細に調べていく．また，Szegedy walk のような古典酔歩由来の量子酔歩は，coin と flip-flop shift での生成という表現もあるが，そのshift 作用素を別のものに替えた「古典酔歩由来ではない量子酔歩」についても同様なモデルを導入する．ここでまず考えるのは，flip-flop shift を，グラフに内在するサイクルをある種の座標を見做したときに導入される “moving shift” に替えることを手始めとする．もちろん，この量子酔歩に対するスペクトル解析やダイナミクスの変化と，shift作用素やグラフの構造を捉えることも目標とする．ここでは，量子探索を含む量子アルゴリズム，離散ラプラス作用素のグリーン函数や共鳴状態・状態密度函数，さらには，従来からの永遠の課題でもある双曲的無限グラフのスペクトル構造やグラフに潜む曲率の定式化なども意識しつづけている．
総合的には，推進方策の基本は以前と同様に，ただし，対面が不可能な状況が維持されることを意識してZoomなどを用いた遠隔ツールを活用した上で，可能な限り各種の研究集会に参加・講演，さらには研究者を招聘した小さな研究会や勉強会の開催で研究者との密なる交流を維持し，新たなアイディアの取得や励起の可能性をより高めるつもりである．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
<理由>
前年度末にはCOVID-19 の影響が残ると予想し今年度前半は旅費は控え目になると想定したものの，年度前半にはCOVID-19 は終息するのでは，という楽観的な目測を持っていた．つまり昨年度末に中止になった分を含めて対面での研究打ち合せの中断を埋めるべく，終息後の対面での議論のための出張および招聘を集中的に行うつもりで，ほぼ全額旅費関係に充当する予定であった．しかし現実には終息を待ち続けた結果，複数の波の到来などによりまったく出張が実行できなかった．遠隔の打ち合せなども行ったが，当初予想した環境整備に関する予算執行を行わずに済み，あわせて計算機関係の物品購入に時間を割けなかったことが大きな次年度使用額が生じた理由となった．
<使用計画>
昨年度と異なり，COVID-19 の影響に関してはもはや楽観的にはなれないため，次年度も旅費は控え目になると想定される．当該研究も期間としては折り返しに入ってきたことも鑑みて，また出張が出来ないことを前向きにとらえ，実行保留としていた計算機実験に多少重点を置くことを考えている．理論構築が主体である本研究ではあるが，多くの具体例を俯瞰することから新たな着想に繋がることを期待するもので，非常に大きな頂点数を持つ有限グラフ上の古典および量子酔歩の時間発展の挙動に関する計算では手計算はほぼ不可能ゆえ計算機環境を整え実行するために研究費を注入する．
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