| 研究課題/領域番号 |
18K03401
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| 研究機関 | 学習院大学 |
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研究代表者 |
樋口 雄介 学習院大学, 理学部, 教授 (20286842)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2025-03-31
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| キーワード | 離散大域解析 / グラフ理論 / スペクトル幾何 / ラプラシアン / 酔歩 / 状態密度函数 / 量子ウォーク / 脳内辞書ネットワーク |
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| 研究実績の概要 |
グラフ上の各種作用素のスペクトルとグラフの持つ離散幾何構造の関係性の解明を主題とし，脳内辞書ネットワークの数理的モデリングなどへの応用を目論んだものが本研究課題となっている．今年度の実績としては，a)戦略を伴なった酔歩ともいえるネットワーク上での単一エージェントによる除染についての考察とともに，b)従来からの継続課題でもある，古典酔歩に付随した作用素のスペクトル，および，有限グラフが持つ幾何構造が及ぼす量子ウォークの定常状態への影響の解明が挙げられる．
a) については，有限グラフにおいて初期状態は全頂点が汚染されているものとし，単一時間に近傍に移動するエージェントによって通過された頂点は除染されていくというモデルを考察した．ここで，除染された頂点でも近傍の汚染点に連続して一定時間(感受時間と称す)晒されると再び発症するものとなっている．最終的にエージェントが全ての頂点を除染できるかどうかは，感受時間(再発症までの時間)の設定に依存している．そこで我々は，ある程度特殊なグラフでも，最適感受時間を完全に決定するとともに，そのときのエージェントが移動する戦略について考察を，主に今野氏(学習院大学)と行った．ここでは完全多部グラフをネットワークの対象とし，単調および非単調戦略どちらも最適感受時間は2番目に大きい部集合のサイズに依存し，最大部集合には依存しないことが分かり，そのときのエージェントの動きを与えることにも成功した．
b) については，「エルミート隣接行列」というグラフによって定まる古典的酔歩に付随した作用素(「隣接行列」の要素を複素化した対称行列)に対して，久保田氏および瀬川氏(横国大)とともにさらに発展することに成功し，また量子酔歩に関しても，瀬川氏(横国大)とともに量子散乱モデルを「曲面に埋め込める」という性質を持ったグラフに対して行い，一定の成果が得られた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
当初の研究期間にCOVID-19の甚大なる影響を受けた「2020年度」が含まれており，その1年強の遅れが響いている．本年度は延長1年目であり，また世間的な状況も従前の姿に戻りつつあることから，対面の研究集会や研究打合せも復活して，議論やアイディアの入手ができるようになった．また，COVID-19によって遠隔手段による打合せも日常化され，実りのある議論が重ねられるようにもなった．ただし，理論面の発展がそれなりに積み重なってきている一方で，応用面への挑戦に関する準備はかなり滞ったままである．本来ならば「脳内辞書ネットワーク」の数学的アプローチにむけた実験を本格的に行い，数理モデルとしての解析を行っているはずであったが，残念ながら2023年度も実験の実装は行えず，またその具体的な計画もたっていない．
全体を総じてみると，全研究期間(延長1年)での総合的な達成目標には達していると言い難い．ただし，古典および量子酔歩の作用素のスペクトル構造での新しい知見や，グラフ上の幾何構造と戦略を伴った酔歩の挙動の解析における新しい方向性などが得られたことは，理論面の構築は想像以上に前進していると解釈できる．よって，理論面のプラスと応用面でのマイナスを考慮した総合的進捗状況として，「やや遅れ」と判断する．
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| 今後の研究の推進方策 |
基本的な研究推進方策は従来と変わることはない．ほぼ日常に戻り，対面の研究集会が復活してきたので，研究集会や研究打合せに参加，もしくはZoomなどの遠隔ツールを利用した参加することで，数学に留まらない多彩な分野の研究者との交流からの新たな刺激や情報を入手できるであろう．そのことによってアイディアの活性化を図る．また，比較的高性能なPCを利用して，巨大なグラフ上での作用素のスペクトル(もしくは共鳴状態)の本格的な計算，もしくは，戦略つきの酔歩によるネットワークの除染に関する計算を，周辺機器の充実を図りつつ行う予定である．それらを通して，古典酔歩と量子酔歩のスペクトルと離散幾何構造の相関の解析を発展して前進させていく．ここで両酔歩に戦略を付随させたと解釈できるネットワーク除染モデルに関しては，完全多部グラフでの単一エージェントに対して結果を得たが，今年度はより一般のグラフ，あわせて複数エージェントでの方向に発展していくつもりである．これはネットワーク上での移動戦略が通常と異なるアプローチを必要としたものであるため，結果として隠れたグラフの幾何構造を表面化させることが可能と考える．あわせて従前通りに，量子酔歩の応答問題モデル(有限グラフを対象物とした散乱問題)における定常状態と曲面埋め込み性といったグラフの幾何的性質，そして幾何量をあぶり出す古典酔歩の各種作用素とその摂動の方法などを確立させていく．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
<理由>
全研究期間の中にある2020年度において，年度内でのCOVID-19の終息を期待した使用計画を立て，ゆえに多額の未使用額が生じ，その影響が尾を引いて「ほぼ1年分」の使用額の遅れが生じてきていた．延長の今年度においてほぼその1年分をフォローした形になったが，いささか残額が出た状態となった．
<使用計画>
応用面での大きな遅れを少しでも取り戻し，今後に繋げていくためにも，残額は「脳内辞書ネットワーク」に関する研究会参加または研究打合せのための出張にあてたいと考えている．当初の全研究期間の中でも2020年度以外の年度内の予算消化は通常延長1年を加えて予定通りになされたので，COVID-19に関する延長許可のさらなる1年で，次年度使用額は確実に消化できる．
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