| 研究課題/領域番号 |
18K03432
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| 研究機関 | 立教大学 |
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研究代表者 |
横山 和弘 立教大学, 理学部, 教授 (30333454)
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| 研究分担者 |
野呂 正行 立教大学, 理学部, 教授 (50332755)
篠原 直行 国立研究開発法人情報通信研究機構, サイバーセキュリティ研究所セキュリティ基盤研究室, 主任研究員 (70565986)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | グレブナー基底 / 計算機代数 / 公開鍵暗号 / F4 アルゴリズム / F5 アルゴリズム |
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| 研究実績の概要 |
グレブナー基底は多項式イデアルのよい性質をもつ基底で、純粋数学から工学等の応用まで幅広く用いられている。グレブナー基底計算では、これまで数多くの実装が行われてきたが、効率化には未だに問題が残っている。本研究では、近年注目を浴びている SBA(signature-based algorithm)と呼ばれる効率化技法に関し、その理論の完成と高速化を実現できる実装を目指す。
理論研究では、2018年度で行った理論研究を発展させ、2019年度は一般のイデアル(非斉次かつ一般的な項順序)においても、SBAの正確な正当性・停止性の証明に成功した。結果として得られるアルゴリズムでは追加する計算が不要であり、理論的正当性が計算効率を阻害することがないことも示された。さらにSBAの高速化・改良に重要な役割を持つと思われる生成集合のsyzygy加群やそこから計算される自由分解に関し、最も効率的と考えられているSchreyer分解とそれを計算するLa Scala-Stillman法を調査し、効率的な実装方法を考察しRisa/Asirシステム上で実装した。
応用研究では、多変数公開鍵暗号の暗号化方式で扱われる連立代数方程式に特化して、SBAを用いずに可能な限り改良を進めたF4アルゴリズムの性能の理論的な解析と数値実験を行った。その結果、上記の連立代数方程式を解くコンテストにおいて世界記録を更新した。SBAとF4アルゴリズムを融合したアルゴリズムの性能を評価する上で、本方式は重要な指標の一つとなる。また、同種写像暗号の安全性解析の代数的方法としてグレブナー基底を用いた方法を構築し、その計算量の評価を行なった。純粋数学への応用としては、グレブナー基底を利用したイデアル計算として準素分解についてその高速化を行なった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
理論研究では、SBAの正当性・停止性に関して、一般の場合(非斉次かつ一般の項順序)に、完全な証明を与えることに成功し、基本的な算法の完成に至った。また、SBAの高速化・改良に重要な役割を持つと思われる生成集合のsyzygy加群やそこから計算される自由分解に関し、最も効率的と考えられているSchreyer分解とそれを計算するLa Scala-Stillman法を調査し、効率的な実装方法を考察しRisa/Asirシステム上で実装した。しかし、従来提案されている方法への付加的な改良にはまだ至っていないので、おおむね順調と評価する。
応用研究では、多変数公開鍵暗号の安全性評価である代数的手法におけるグレブナー基底の高速計算を扱い、F4アルゴリズムの性能の理論的な解析と数値実験を行い、上記の連立代数方程式を解くコンテストにおいて世界記録を更新した。しかし、本方法はSBAをまだ有効に用いていないため、一歩手前の段階に留まっている。これをベースに、SBAとF4アルゴリズムを融合したアルゴリズムの性能を評価していく予定である。
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| 今後の研究の推進方策 |
最終段階に入る。理論研究においては、2019年度までの研究で正当性を保証したSBAの実装を行い、具体例による実験からアルゴリズムの挙動を解析する。この解析で得られた知見をベースにSBAの改良を行い。既存の方法との比較によりその有効性を検証する。この検証では、2019年度に行なったsyzygy計算機能を有効に使えると考える。さらに、特殊な場合、例えばminimal signatureが予め計算できる状況として、グレブナー基底の基底変換計算が考えられるが、この場合におけるSBAの有効な適用を検証する。
応用研究では、暗号を引き続き取り上げ、高速化したグレブナー基底計算が既存の公開鍵暗号の安全性にどのような影響があるのかを丁寧に検証する。多変数公開鍵暗号の暗号化方式で扱われる連立代数方程式に特化して、SBAとF4アルゴリズムを融合したアルゴリズムの構成とその性能の検証を行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
12月に参加を予定していたRIMS研究集会への参加が取りやめになり、さらには3月に予定していた研究会Risa/Asir conferenceが中止になったなどの理由で、計上していた旅費が未執行になった。2020年度は、研究成果の発表のために使用する予定である。
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