| 研究課題/領域番号 |
18K03445
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
桂 法称 東京大学, 大学院理学系研究科(理学部), 准教授 (80534594)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 強相関系 / Hubbard模型 / 超対称性 / マヨラナ・フェルミオン / 可積分系 |
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| 研究実績の概要 |
当該年度の主な結果として、以下の３つに関するものが挙げられる。（１） SU(n) Hubbard模型における強磁性、（２）超対称性のあるマヨラナフェルミオン系、（３）Wishart 型Sachdev-Ye-Kitaev(SYK)模型。
（１）平坦あるいはほぼ平坦なバンドが最下端にある SU(2) Hubbard模型では、強磁性基底状態が出現する場合があることが知られている。この結果を、カラー自由度をもつHubbard模型に拡張した。具体的には、１次元の田崎型の模型を考え、下のバンドが完全に平坦あるいはほぼ平坦で 1/n フィリングの場合に、カラーが揃った強磁性状態が基底状態となることを、SU(2)の場合の手法を改良して厳密に証明した。
（２）1970年代にNicolaiによって提案されたN=2の超対称性(SUSY)をもつ格子上のフェルミオン模型の自然な拡張として、N=1のSUSYをもつ模型をマヨラナ演算子を用いて構成した。そして、この模型ではSUSYが自発的に破れる場合があり、これに伴ってギャップレスな励起モードが出現することを示した。また、有限系ではSUSYが破れるにも関わらず、無限系ではSUSYが回復することがあることを数値計算により示した。これらに加えて、SUSYの破れに伴うギャップレス励起が波数の３乗に比例する分散をもつことを数値対角化により示した。
（３）SYK 模型の亜種として、乱れのない場合を含むWishart-SYK模型と呼ばれるクラスのフェルミオン模型を新たに構成した。また、基底状態の縮退度は、粒子数に対して指数関数的に増大することを示した。さらに、OTOCが長時間平均の周りに大きな時間ゆらぎを示すことを数値的に明らかにした。また、この模型は、適切な変換により、Richardson-Gaudin 模型と呼ばれる、既知の量子可積分系にマップできることを示した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
本研究の２つの大きなテーマは、１．高い対称性をもつHubbard模型の基底状態、２．相互作用するマヨラナ・フェルミオン系とその応用、である。当該年度は、それぞれについて一定以上の進展があった。
テーマ１に関して得られた、SU(n) Hubbard模型に関する結果は、長岡強磁性を除くと初めての厳密な結果である。最下端バンドが平坦な場合には、SU(2)の場合の素直な拡張と考えられるが、完全には平坦でない場合については、先行研究の手法を改良することにより得られた非自明な結果である。
テーマ２に関しては、どちらの成果も他に類のないものであると考えている。特にN=1の超対称性をもつマヨラナフェルミオン模型については、無限系で超対称性が回復するパラメター領域が存在することを具体的に示した意義は大きい。また、具体的な模型としては空間１次元のものを議論しているが、高次元にも容易に拡張できるものである。実際に論文出版後にカナダのグループにより２次元カゴメ格子上に拡張されたものも議論されている。Wishart-SYK模型については、乱れのないSYK模型について調べている先行研究がなかったため調べたものであるが、意外にもその場合は可積分であることが明らかになった。また、相関のある乱れを導入した場合も可積分であることから、元のSYK模型についても一定の示唆を与えるものと考えている。
その他にも、相互作用するKitaev模型の基底状態やトポロジカル数、スピン2 Bose-Hubbard模型の基底状態、一般化Ising模型とボルツマン機械の関係、などのトピックについて結果を得て論文として出版している。以上を踏まえて、テーマ１・２のどちらについても、当初の計画以上に進展していると考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度は次の２つのテーマに関する研究を遂行する。
テーマ１．高い対称性をもつHubbard模型の基底状態
SU(n) Hubbard模型における強磁性については一定以上の進展があったが、現在までフェルミオン数が特定のフィリングの場合についてしか、厳密な結果は得られていない。別のフィリングについても扱えるような手法を開発する、あるいはより取り扱いやすい別の模型を考え、金属的な場合のSU(n)強磁性についての議論も目指す。また、近年注目されている高次トポロジカル絶縁体のコーナー状態などの強相関系でのアナロジーについても、Hubbard模型やその亜種を用いて議論することを模索する。
テーマ２．散逸や非エルミート性のある可解模型
H30年度に、散逸のあるスピン鎖のLindblad方程式の解析をし一定の成果が挙がった。これらの結果は、現在論文誌に投稿中である。また、現在は横磁場Ising鎖に散逸を入れた模型についても調べている。この模型も、非エルミートな可積分系へマップできることが分かったので、そのより詳細な性質を調べる。また、その他の非エルミートな可解模型についても研究を進める。以上の他にも、超対称性のあるマヨラナフェルミオン系、スピン自由度をもつBose-Hubbard模型の研究も継続して行う予定である。
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| 備考 |
研究室のホームページにて、発表論文や講演資料の情報を公開している。
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