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有限サイズの可積分量子系において、任意の初期状態に対して時間発展を導くことが出来るか？ という問題に関連する問題を研究した。可積分量子系では原理的には長時間の時間発展を厳密に追跡可能で、量子ダイナミクスの様々な研究が期待される。もしも与えられた状態をベーテ固有状態の和で表すことができれば、厳密な時間発展が導かれる。しかし、任意の状態をべーテ固有状態で表す方法は、未だに確立されていない。
（１）本年度は、2019年度の量子XXZ鎖の実解に関する研究成果に基づき、これを仕上げてまとめる研究をおこなった。任意の量子状態をべーテ状態の和で表すための前提として、スピン1/2の量子XXZ鎖のギャップ領域中の下向きスピン２個のセクターで、XXZ異方性変数Δや格子点数Nを変化させてベーテ方程式の実解の個数が変化することを厳密に示した。そして、その量子数を厳密に導いた。量子数からベーテ方程式の対数関数の分岐が定まる。ベーテ方程式の数値解を求める上で量子数の情報は本質的に重要である。2018年度の複素束縛解に関する研究結果と合わせることにより、下向きスピン２個のセクターでは、任意の量子状態をベーテ固有状態の和で表すことが可能となった。実は下向きスピン２個のセクターの場合でも、XXZ異方性変数Δの変化による実数解の振る舞いの追跡は難しい問題であった。XXZ異方性変数Δの変化に伴い、複素解が実解に崩壊し、その結果、実解の個数は増加する。
（２）捻り境界条件の視点から、特異解を含むベーテ解に対する固有状態のノルムや形状因子の公式を厳密に導出した。特異解を含む固有状態において、スラブノフが導いたノルムや形状因子公式は、そのままの形では成立しない、あるいは応用が容易でない。本研究成果によってはじめて、例えばハーフフィリングにおいて、複素固有状態も含む励起状態における系の時間発展の厳密な議論が可能となる。
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