| 研究課題/領域番号 |
18K03610
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
松尾 泰 東京大学, 大学院理学系研究科(理学部), 教授 (50202320)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 量子変形 / トロイダル代数 / ゲージ理論 / インスタントン / 行列模型 / 次元酸化 / 境界状態 / 双対性 |
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| 研究実績の概要 |
量子トロイダル代数について以下の研究を行った。
（１）S-dualityの検証：通常のヤング図を用いた基底のかわりにS双対な基底を導入し、その性質を詳しく調べた。特に、通常の演算子の作用の形が、ある種の射影演算子を用いると、双対基底のものと一致することを示した。これはトロイダル代数、あるいは関連するゲージ理論、ストリング理論の双対性の厳密証明の一つとなる。
（２）これまでトロイダル代数は主にA型と呼ばれる代数に関して調べられてきたが、BCD型と呼ばれるものに拡張するために演算子の空間にZ2作用を導入した。また、関連する境界状態を導入し、Z2作用が鏡像として理解できることを示した。また、トロイダル代数の元が境界状態にどのように作用するのか調べ、BCD型の代数を定義することができることを示した。トロイダル代数の文脈で境界状態が調べられた文献はこれまでなかったので、新しい知見を得ることに成功した。
（３）トロイダル代数のより高次元への拡張を試みた。これまで高い次元のループ代数については行列模型の文脈で調べられていたが、それをコセット空間に拡張することに成功した。代数の定義の他、行列模型への応用を詳しく調べ、コセット空間上のゲージ理論を導くことができた。この研究は場の量子論における曲がった時空の代数家に向けたステップとして重要であると考えられる。これにより、ツイストが入ったファイバー束上の場の量子論など新たな場の理論の構築が可能になると考えられる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今年は技術的な困難にぶつかり、結果が出ない時期が続いた。例えば双対基底の問題については射影演算子のノルムの問題、境界状態については代数を作用した際の量子異常項の出現などである。最近になり、これらの困難の解釈がようやく理解され、完成するプロジェクトが相続いている。出版した論文数という意味ではやや不満であるが、一番難しい部分が解明されたように思われるため、今後は順調に進むのではないかと考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年の目標の一つは、カラビ・ヤウ空間のようなストリング理論のコンパクト化に用いられている空間にトロイダル代数を応用することである。もともといわゆる位相的頂点作用素はトーリックカラビ・ヤウ空間の位相弦振幅の計算に用いられているものであり、関連は深かったがゲージ理論への応用ほど、詳細は調べられていなかった。昨年度開発した代数の一般化と時空の代数化の概念を応用してよりストリング理論の間の双対性について深い理解を目指したいと考えている。
また、AdS/CFT対応に現れる可解系の手法との関連は長年の目標であったので、境界状態などを通じた研究を用いてアプローチしたい。特に、三浦変換を用いたW代数生成子の定義とその可解系との関連などが非可換空間カラビ・ヤウとどのように関連付けられるのか関心を持っている。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
僅かな金額であるので調整の範囲内で適正に用いていく。
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