| 研究課題/領域番号 |
18K11152
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| 研究機関 | 群馬大学 |
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研究代表者 |
天野 一幸 群馬大学, 情報学部, 教授 (30282031)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 計算複雑さ / 計算機援用 / 下界 / 離散構造 / しきい値回路 |
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| 研究実績の概要 |
本研究は計算機援用型の計算複雑さ解析手法の開発を目指すものである。今年度は特に、定義自身は単純であるが、その解構造が複雑となるような問題群に着目し、これらについての解析を通じて、その問題に潜む本質的な難しさに対する理解を得ることを目指した。得られた成果は主に以下の２点である。
（１）計算複雑さの研究において重要なターゲットである、しきい値論理回路計算モデルや多項式しきい値表現モデルにおける、内積関数等の複雑さに関する新たな上界、および、下界を得ることに成功した。上界については、ターゲットとする関数を入力数の小さな関数の合成によって表現する手法を開発し、計算機による表現の探索との組み合わせにより証明した。本成果は、2020年度より延期となっていた国際会議において発表を行った。下界については、特定の論理関数の多項式しきい値表現に対する重さの下界について、ランダム制限の技法を応用することにより、既知の結果を超える下界を得ることに成功した。本成果は、現在、論文として取りまとめを行っている。
（２）数学における著名な難問の一つであるコラッツ予想について、その基本操作の繰り返しにより、値１に到達するまでの反復回数の新たな下界を証明することに成功した。これは、約２０年間未解決とされてきた問いに対する大きな進展を与えるものである。１CPU年に相当する大規模計算を行うことにより、約１９０億状態の巨大なオートマトンの記述に相当する明示的証明を与えることにより達成された。本成果は、国内研究会において発表し、更なる発展を目指して研究を継続中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
コラッツ予想や、ソートに関連する問題といった、研究当初はターゲットとしていなかった、より広く本質的に重要なタイプの問題に対する解析等も行うこととしたため、その成果の解釈等に想定よりも時間を要している。また、コロナ禍の影響により、参加予定であった学会や、研究者との議論の延期等も生じており、本研究の研究期間を延長することとした。これらの理由により、本研究の進捗はやや遅れているものと判断する。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度は、５年間に渡った本研究課題の最終年度として、これまで得られてきた成果のより統一的な解釈を得ること、および、成果をとりまとめ学会等において発表することに重点をおき研究を行う。より具体的な研究計画は以下の通りである。
これまでの研究により、本研究の主要テーマである計算複雑さは、扱う問題や計算モデルが単純であればあるほど、その本質的な理解に迫ることができる、との知見を改めて確認することとなった。究極的には、理論計算機科学分野における最重要未解決問題である、P vs NP問題の解決に繋がる糸口を得たい。これに向けて、例えば、コラッツ予想のような、至極単純な操作を繰り返した際の数値の振る舞いや、あるいは、これに類する離散的構造の解析等に関して、その問題を困難たらしめている要因を、従来の計算複雑さの言葉で捉えることが可能であるか、等に焦点をあて探求を進めることとする。特に、本研究で追及してきた、計算機援用型手法と理論的議論の融合の更なる深化を目指し研究を推進する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
発表を予定していた学会がコロナ禍の影響によりオンライン開催となったこと等により旅費に余剰金が生じた。本研究課題を2022年度まで延長することとし、新たな成果発表に要する旅費等として使用する。
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