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グラフ上の問題で解くことが難しい問題に対して、木幅というパラメータが小さければ高速に解けるということがよくある。しかし木幅が小さくてもなお解くことが難しい問題というものも知られるようになってきた。木幅が小さくても容易に解けない問題に対し、頂点被覆というパラメータが小さければ容易に解けるという結果が多数知られている。しかし頂点被覆が小さいという制限はグラフをかなり限定してしまうことになる。これはつまり、頂点被覆が小さいときに高速にどうさするアルゴリズムというのは多くの現実的問題に対して実用的ではないことを意味する。また頂点被覆と木幅の間にあるパラメータとして treedepth というパラメータがあるが、treedepth まで木幅に近いと treedepth が小さくてもなお難しい問題というのが多数知られている。そこで頂点被覆よりはグラフを限定せず、treedepth よりはグラフを限定するパラメータとして vertex integrity というパラメータを考え、様々な重要な問題に対し、困難性の証明や高速なアルゴリズムの開発を行った。これにより木幅が小さくても困難な問題に対して、どのような条件を満たせば高速に解けるのか、またはそれでも難しいのかについての理解が進むことになった。この結果は本研究の目的であった、木幅に対して固定パラメータ困難な問題への解法の開発になっており、頂点被覆をパラメータにするアルゴリズムより一般的なものを扱えるので重要な結果といえる。
研究期間を通じて、様々な今まであまり注目されてこなかったパラメータに関するアルゴリズムを開発してきた。これにより、木幅に関して固定パラメータ困難な問題であってもどのようなパラメータを考えると高速なアルゴリズムを開発できるか、パラメータをどこまで一般的なものにとどめておけるかについて解明できた。
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