| 研究課題/領域番号 |
18K11173
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| 研究機関 | 日本大学 |
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研究代表者 |
森山 園子 日本大学, 文理学部, 教授 (20361537)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 数理計画 / 多面体 / マトロイド |
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| 研究実績の概要 |
数理計画問題の解法として単体法[Dantzig(1947)]を起源とするピボットアルゴリズムがある。多項式時間を達成するピボットアルゴリズムの存在解明は数理計画問題における重要な未解決事項である。線形計画問題の一部を多項式回数の反復で解くアルゴリズムの達成[Gaertner(2002)]を機に，申請者はこの成功の核となった数理計画問題に内在する大域的性質に着目し，従来のピボットアルゴリズムが注視する数理計画問題の局所構造からは得られない大域的性質の重要性を明らかにしてきた。本研究では，以下3つの方針に沿って，数理計画問題に内在する大域的性質に基づく多項式時間アルゴリズムの構築を目指している。
(A) 数理計画問題の大域的性質に基づく多項式時間ピボットアルゴリズムの開発
(B) 離散的勾配流によるピボットアルゴリズムの高速化
(C) マトロイドとその表現可能性からみた多面体の離散構造
大域的性質を解明する方針(A)を達成するうえで，数理計画問題の多面体的構造の把握が重要となる。特にピボットアルゴリズムのピボット数は多面体の面構造の理解が不可欠である。そこで，本年度から多面体の長年の未解決問題として知られる Kalai 予想に取り組み始めた。また，方針(B)を達成するうえで必須となる多面体の離散的記述を得るために，マトロイドの表現可能性問題（拡大体）に取り組み，その無限族を構成すると共に，マトロイドデータベースを用いてマトロイドのタット多項式の凸性および同多項式の係数の対数凹性の解明に取り組み，両者の最小の反例を発見した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
まず，大域的性質を解明する方針(A)を達成するうえで重要となる数理計画問題の多面体的構造の把握を目指して研究を進めた。昨年度から多面体の展開図についても検討中であるが，本年度から多面体の長年の未解決問題として知られる Kalai 予想に取り組み始めた。Kalai予想とは，中心対称なn次元多面体の面数はn次元超立方体の面数以上という予想であり，面構造の下限を与える意味でピボットアルゴリズムと関連が深い。具体的な成果は得られていないが，有向マトロイドを用いた組合せ的アプローチおよび幾何的アプローチの両方を試している。また，多面体とその計算に関する本の出版を予定し，現在執筆中である。次に，方針(C)のマトロイドのタット多項式の凸性および同多項式の係数の対数凹性の解明に取り組み，両者の最小の反例を発見した成果について，2019年6月の国際会議で発表した。現在，同成果に関する論文を執筆中である。
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| 今後の研究の推進方策 |
まず，2018年度の今後の推進方策で記載した通り，本年度は方針(A)に重点をおいて多面体構造の解明に努めたが，予想以上に難しい問題で具体的な成果は得られなかった。2020年度は問題設定を変更を検討する。次に，数理計画問題の大域的性質として申請者が提案したシェリング性およびHolt-Klee性について，線形計画問題の組合せ的抽象化である有向マトロイド計画における両性質の成立可否を目指す。また，本年度から着手し始めた多面体とその計算の執筆を2020年度中に完了させることを目指す。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究打合せのため2019年度末に出張予定だった出張を新型コロナウイルスの影響で取りやめたため残額が発生した。同出張を2020年度以降に見送る予定である。
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