| 研究実績の概要 |
本研究課題は，主として,「戦略的待ち行列(待ち行列ゲーム)」の数理的な解析に資することを目的とし, ブロック構造化マルコフ連鎖やランダムウォーク(RW)型マルコフ連鎖のエルゴード解析，切断誤差評価，数値計算法の開発などを行う．2019年度の研究実績は以下の通りである．
(A) Upper Block-Hessenberg (UBH)型マルコフ連鎖は, 戦略的待ち行列はもちろん, 非常に広範囲に渡る確率モデルを表現可能なマルコフ連鎖である. このUBH型マルコフ連鎖の定常分布について, 2018年度に提案した逐次更新アルゴリズムを改良し, 「付加的な収束条件」と「計算負荷の高い構成要素」を除去することに成功した. これにより, これまで困難とされてきた確率モデルの性能評価を効率的に行うことが可能となった.
(B) M/G/1型マルコフ連鎖は, UBH型マルコフ連鎖の特別な場合であり, かつ, RW型マルコフ連鎖の代表例でもある. このM/G/1型マルコフ連鎖の定常分布計算を実装する際に用いられる「レベル増分切断近似」を考え, 切断パラメータを無限に大きくした(真の答えに近づく)ときの近似誤差に関する劣幾何的収束公式を示した. これにより, 近似誤差を減少させにくい状況についての理解が深まった．
(C) RW型マルコフ連鎖の一つで, M/G/1型マルコフ連鎖の拡張でもあるGI/G/1型マルコフ連鎖を対象に，一推移あたりのレベル増分分布の裾が重いという条件のもとで, 「定常分布への収束率」「レベル増分分布の裾減衰率」「定常分布の裾減衰率」の三者間の関係を明らかにした. これにより, 定常分布への収束が極端に遅くなる状況についての理解が深まった．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
2019年度は，計画していた4つの課題のうちの3つ「a．UBH型マルコフ連鎖の定常分布計算」「b．GI/G/1型マルコフ連鎖(M/G/1型マルコフ連鎖を含む)の定常分布に対する切断近似の誤差評価と漸近解析」「c．RW型マルコフ連鎖に対するエルゴード解析」について研究を行った．これら3つの課題に関する研究実績の概要は，上記「研究実績の概要(A), (B), (C)」に記載した通りである．なお，研究実績(A), (B), (C), それぞれの成果を海外英文誌で発表すべく, 論文を執筆中である. また, 計画していた残りの一つの課題「d. 早期到着や，時間依存コスト，遅延コストなどを有する離散時間単一サーバ・ポアソン待ち行列ゲーム」に関する課題については, 現在取り組んでいる最中である. 以上を踏まえ，本研究課題の進捗状況を「おおむね順調に進展している」と判断した．
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| 今後の研究の推進方策 |
2020年度は，以下の課題に取り組む予定である．
(1) 2019年度に引き続き, 「早期到着や，時間依存コスト，遅延コストなどを有する離散時間単一サーバ・ポアソン待ち行列ゲーム」に関する研究に取り組む. 特に, 早期到着および時間依存コストが均衡到着分布に与える影響について分析を行う.
(2) M/G/1型マルコフ連鎖のレベル増分切断近似に関する「幾何的収束性」について考える. 幾何的収束性とは, 2019年度の研究課題で対象とした「劣幾何的収束性」より, 近似誤差を減少させ易い性質を表す. 現状では, レベル増分切断近似の幾何的収束率と, M/G/1型マルコフ連鎖のモデルパラメータとの関係は明らかになっていないため, その解明に取り組む.
(3) GI/G/1型マルコフ連鎖は, 可算状態をもつRW型マルコフ連鎖の一種である. 2019年度では, このGI/G/1型マルコフ連鎖を対象に, 「定常分布への収束率」「レベル増分分布の裾減衰率」「定常分布の裾減衰率」の三者間の関係を明らかにした. 2020年度は, そうした三者間の関係が, 非可算状態空間R+上のRW型マルコフ連鎖でも成り立つことを示す．
現時点で, (1)については一定の成果が得られる見通しがある. 一方, (2)と(3)に関する研究が思うように進捗しない場合には, 関連する他の課題に取り組む予定である. 例えば, 研究実績(B)の成果を, GI/G/1型マルコフ連鎖に拡張したり, レベル増分切断近似と同様によく用いられる「最終列ブロック増大切断近似」の収束性に関する未解決の問題に挑戦することなどが挙げられる.
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