研究課題/領域番号 |
18K11188
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研究機関 | 東京大学 |
研究代表者 |
久保川 達也 東京大学, 大学院経済学研究科(経済学部), 教授 (20195499)
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研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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キーワード | 縮小推定 / 線形混合モデル / 小地域推定 / 高次元解析 / ミニマックス性 / スタイン問題 / 歪正規分布 |
研究実績の概要 |
本研究課題では,統計的推測において直面している諸問題に対して,数理統計の立場から縮小推定による新たな解決策を導出し,推定誤差の漸近2次近似による評価や有効性・最適性などに関する理論的な性質を調べ,現実のデータ解析を通して応用面からの有用性を示すことを目的とした。具体的には,(A)混合効果モデルを利用した小地域推定理論の新展開,(B)多次元母数の同時推定に関するスタイン問題の新たな展開,(C)高次元多変量モデルにおける縮小推定法の有効性・有用性,の3つの問題を扱った。いずれも従来の統計手法をそのまま用いたのでは問題があり,縮小推定手法が従来の手法の欠陥を解決していて,しかも理論的及び応用的側面から従来の手法を優越することを示した。具体的には,以下の通りである。 課題(A)については,変量効果に歪み正規分布を用いた混合効果モデルを考え,小地域推定のための経験最良線形不偏予測量の理論研究とサーベイデータの解析への応用を行った。また,結合関数を未知とするときに階層ベイズモデルを用いて小地域推定を行うための統計手法の開発や,有限母集団パラメーターを推定するための適応型変換モデルに関する研究を行った。さらに,ガンマ分布の形状母数を推定するためにスコア調整法を提案し,その方法が最尤法などの従来の方法と遜色がないことを数値的に示した。 課題(B)については,多標本の正規母集団の平均ベクトルを並べた行列を同時推定する枠組みにおいてミニマックスで許容的な推定量の導出を行った。またいくつかのポアソン分布の平均ベクトルの同時推定に関しても改良する一般化ベイズ推定量の導出を行った。 課題(C)については,高次元の平均行列の推定問題において,縮小関数が共分散行列の逆行列になり高次元では不安定になるためリッジ型の縮小関数に置き換えた線形縮小推定量を考え,その決定論的な良さを示すとともに漸近的な性質を導いた。
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
混合効果モデルを利用した小地域推定については,変量効果の分布に正規性を仮定することの妥当性が問題になる場合があり,そのとき正規分布の代わりに歪み正規分布を仮定したモデルを考え,歪度の一致推定量を導出し経験最良線形予測量の平均2乗誤差の2次近似を与えるとともにその2次不偏推定量を導いた。また実際のデータ解析において歪度の存在を確認した上で,得られた理論結果をそうしたデータの解析に応用した。これにより,当初予定していた研究目的の一つが達せられたことになる。 また,地域によって誤差分散が異なる枝分かれ誤差回帰モデルを考え,不均一分散に逆ガンマ分布を想定することにより,平均と分散の両方を縮小する経験ベイズ推定量に関する研究を行った。この問題については,ガンマ分布の形状母数を推定するためのスコア調整法を提案し,その方法が最尤法などの従来の方法と遜色がないことを数値的に示した。また,その副産物として,ガンマ・ポアソン混合分布やベータ・2項混合分布における形状母数の推定について,スコア調整法による新たな推定法の提案を行った。こうした結果は,当初計画していた不均一分散をもつ混合効果モデルについての研究目的に貢献したことになる。 多次元母数の同時推定に関するスタイン問題の新たな展開については,未知の共通な分散をもつk標本の平均ベクトルの同時推定問題において,ベイズ推定量がミニマックス性を持つことを証明した。またk個のポアソン分布の平均ベクトルの同時推定と予測分布の問題を考察し,通常の手法を改良する一般化ベイズ推定量の導出を行った。 高次元多変量正規分布の平均行列の推定問題について,縮小関数が共分散行列の逆行列になるが,そこにリッジ型の縮小関数を組み入れた線形縮小推定量を考え,そのミニマックス性を証明するとともにランダム行列理論を用いて最適値に収束することを示した。
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今後の研究の推進方策 |
混合効果モデルを利用した小地域推定理論の新展開については,従来の一変量のモデルを多変量Fay-Herriotモデルへ拡張することを考える。この場合,分散成分は共分散行列になり非負定値で一致性をもつ推定量を構成し経験最良線形不偏予測量の平均2乗誤差行列の2次近似と2次漸近不偏推定量の導出を行う。また分布に正規性を仮定しない場合についても,上述の結果が成り立つ,いわゆる頑健性についても研究する。さらに,バートレット補正を行うことによって2次の精度をもつ信頼領域を解析的に求める。 多次元母数の同時推定に関するスタイン問題の新たな展開については,多変量歪み正規分布の位置母数の同時推定を考え,ミニマックスな縮小推定量の導出を行い,その数値的な挙動を調べ,経験ベイズ推定量との比較を行う。また多変量の歪み正規分布の共分散行列の推定問題を考察し,ミニマックス性など通常の決定論的な性質を調べる。 標本数が異なる多標本のポアソン分布モデルを考え,平均の同時推定に関して正則な事前分布を用いたベイズ推定量でミニマックス性をもつものを導出する。さらに,ポアソン分布の平均が制約されているときにベイズ予測分布が制約無しのものを改良することを示す。 高次元多変量モデルにおける縮小推定法の有効性・有用性については,高次元の平均ベクトルの標本平均を,2つの空間の方向へ縮小する,いわゆる2重線形縮小推定量を考え,重み係数の最適解とその推定量の一致性を高次元において証明する。数値実験を行うとともに金融データへの適用を検討する。これに関連して,平均が未知のときの分散の推定問題を考え,スタインの打ち切り推定量を含むような線形縮小推定量を非正規分布のもとで導出し,様々な対称分布のもとで数値実験を行い,推定手法の良さを検討する。
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次年度使用額が生じた理由 |
当初,研究打ち合わせのための海外出張(シンガポール・国立シンガポール大学確率統計学科Sanjay Chaudhuri准教授)を予定していたが,新型コロナウィルス感染拡大のためキャンセルすることになり,その結果,次年度使用額が生ずることになってしまった。 次年度については,キャンセルした海外出張を行う予定で,シンガポール・国立シンガポール大学確率統計学科Sanjay Chaudhuri准教授との研究打ち合わせを行うことになる。
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