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大規模線形方程式の求解では，CGS法（Conjugate Gradient Squared method，自乗共役勾配法）などクリロフ部分空間法に基づく反復解法の前処理付きアルゴリズムが用いられることが多い．我々の先行研究では，国際的標準として使用されている従来版の前処理付きCGS法（PCGS: Preconditioned CGS）の問題点を改善したPCGSアルゴリズム（改善版）を提案した．これにより，従来版PCGSでは解けなかった多くの線形方程式が解けるようになり劇的な改善を実現した．
当研究課題の１，２年目では，我々が開発した改善版PCGS，および従来から用いられてきているPCGSと左前処理系と呼ぶべきLeft-PCGSに対する数理面に関する研究成果が得られた．その研究の中で改善版PCGSアルゴリズムの数理構造に着目し，演算量や計算時間を増やさずに，さらなる高精度求解を実現できることを関連する定理の提案とともに実装手法として提案した．ここまでの研究では，双ランチョス型と呼ばれる系統のクリロフ分空間法に基づく前処理付きアルゴリズムについて実施してきた．
３年目から最終年度にかけて，双ランチョス型と局所的に残差ノルムを最小化する演算を組み合わせた“積型反復法”として分類されるPBiCGStab（前処理付きBiCGStab；BiConjugate Gradient STABilized，安定化双共役勾配）法とPGPBiCG（前処理付きGPBiCG；Generalized Product BiConjugate Gradient，積型双共役勾配）法についても本提案手法を適用可能であり，数値実験でPCGSと同様の効果があることが確認された．さらに，２年目に提案した高精度求解の技法を併用することで，より安定した高精度な数値解の算出を実現できた．
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