| 研究課題/領域番号 |
18K13387
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| 研究機関 | 山梨大学 |
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研究代表者 |
山浦 浩太 山梨大学, 大学院総合研究部, 准教授 (60633245)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | asid加群 / 岩永-Gorenstein環 / 導来圏 / 三角圏 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は有限次元多元環Aに対して、そのasid両側加群（以下asid加群）の構成法を確立すること、またasid加群全体のなす集合が有する構造を明らかにすることである。先行研究の中で、両側加群がasid加群であることは、その両側加群が引き起こす導来テンソル関手の導来圏への作用の言葉で特徴付けられている。従って、asid加群は加群レベルではなく複体レベルで調べる方が適切と思われる。そこで当年度は導来テンソルによるasid加群の特徴付けを流用して両側加群の複体に対するasid性を定義し、asid複体のなす集合の性質を研究した。その結果、Aの大域次元が有限であるという仮定のもとで、次の成果が得られた。
(1)任意のasid複体は、1-asid複体と冪零asid複体と呼んでいる2種類の特別なasid複体の拡大であることを示した。(2)導来圏におけるルコルマンに関する先行研究を参考にして、導来圏の部分傾複体から1-asid複体を構成する方法を与えた。また、thick閉包が一致するような2つの部分傾複体に対して、この構成による1-asid複体は同型となることを示した。これにより、傾対象を持つ導来圏の各許容部分圏に対して、1つずつ1-asid複体を構成する方法が得られたことになる。(3)導来圏の許容部分圏Uに関する1-asid複体全体の集合をG(U)とすると、G(U)は導来テンソルを演算とする群をなすことを示した。(4)導来圏の許容部分圏Uが傾対象を持つとし、その傾対象の準同型環をBとする。このとき、Bの両側傾複体のなす群からG(U)への群同型が存在する。これは昨年度に観察したことのリファインとなる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
研究対象を柔軟に広げることで、いくつかの成果を得ることができ、研究は進展している。ただし、asid加群の具体的な構成手法が確立できておらず、求めるところには至っていないため、やや遅れていると判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き1-asid複体と冪零asid複体の研究に取り組む。特に次の事項を考察する予定である。(1)大域次元が2以下の有限次元多元環に対して、導来圏のSerre関手を引き起こす傾複体のあるホモロジーがasid加群になることが知られている。この現象の類似としてasid複体のホモロジーを取ることでasid加群を構成することができるかどうかを検討する。これは前年度にも調査事項に挙げたことであるが、現状は手を付けられていないので、今後検討を進める予定である。また、ホモロジーを取る操作に限らず、他の操作でasid複体からasid加群を構成する方法を検討する。(2)大域次元有限な多元環のasid複体による自明拡大DG多元環が持つホモロジー多元環的性質を調べる。(3)Aをサイクルを持たないクイバーの道多元環とし、APR-傾加群Pの準同型環をBとする。このとき、A上のasid複体全体のなす集合からB上のasid複体全体のなす集合への1対1対応が存在する。この対応による複体の変化をクイバーの表現を用いて記述することを試みる。この応用として、道多元環の1-asid複体を分類する手法の構築について検討したい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナウイルス感染症が流行した影響で参加予定であった研究集会が中止、またはオンライン開催となったため、旅費として使用する予定であった金額に残額が生じた。次年度使用額は、コロナウイルス感染症の流行が収まれば旅費に使用し、収まらなければオンライン研究集会や発表を行うための機器を購入するために使用する予定である。
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