| 研究実績の概要 |
有限次元多元環Aとその両側加群Cに対して、自明拡大環と呼ばれる環Rを構成することができる。自明拡大環Rが岩永-Gorenstein環となるような両側加群Cをasid両側加群と呼ぶ。本研究の目的はasid両側加群の構成法の確立, およびasid両側加群のなす集合の構造研究であった。
当初、具体例の計算をしつつasid両側加群の構成法を検討していたが、良い結果は得られなかった。しかしながら、asid両側加群の拡張・複体版であるasid複体を導入し、広い視点で研究を進めることで、いくつかの成果が得られた。まず、任意のasid複体は特別なasid複体（asid数1のasid複体）と自己導来テンソルで冪零な複体の拡大であることがわかった。ここでasid複体Cがasid数1のasid複体Dと自己導来テンソルで冪零な複体Nの拡大であるとき、CとDはasid複体として重要な情報を共有している。従って、asid複体の研究において、asid数1のasid複体の研究が基本的である。
そこで次にasid数1のasid複体のなす集合の構造研究を行った。その結果、右加群の複体として見たときのthick閉包が等しくなるようなasid数1のasid複体のなす集合Gを考えると、それは導来テンソルを演算とする群をなすことがわかった。また、そのthick閉包が傾対象を持つとき、ある多元環上の両側傾複体のなす群とGが同型であることがわかった。
以上が期間を通して得られた主な成果である。これらの成果は具体例の計算を元にしている。特にJacobson根基の2乗が0である中山多元環に対してasid両側加群の計算を行い、研究の参考とした。最終年度では、与えられた両側加群がasid両側加群であるかどうかを行列を用いて判定する方法や、asid複体からasid両側加群を構成する方法などを模索した。
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