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Artin-Schelterは3次元AS正則環の分類を試み、regular potentialの部分的なリストを与えた。特に3次元quadratic AS正則環は射影平面自身または射影平面内の3次曲線とその自己同型の組と一対一対応することが知られており、Mori-Smithは3次元quadratic AS正則環Aとregular twisted superpotential の間に一対一対応が存在することを示した。本研究課題では、 任意の3次元quadratic AS正則環に対して、regular twisted superpotentialおよびCalabi-Yau superpotentialのリストを与えた。この応用として、任意の3次元quadratic AS正則環Aに対して、あるCalabi-Yau AS 正則環Sが存在し、AとSは次数付き森田同値であることを示した。これはAの非可換射影スキームを研究することはSの非可換射影スキームの研究することへ還元できることを示唆する結果である。本研究は松野仁樹氏との共同研究によって行なった。これらの研究によって、3次元quadratic Calabi-Yau AS 正則環という対称性をもつ性質の良い多元環を扱えるということとなり、また具体的な関係式のリストも松野氏と与えているため、任意の3次元quadratic AS正則環を具体的に扱えるようになった点において重要な意義を持つといえる。実際、非可換代数幾何学の研究者や量子物理学に研究者によって上記の研究が引用されている。
本年度は上記の研究の応用として、3次元quadratic AS正則環 Aに対応するBeilinson algebraの多元環の表現論の手法を用いてAR-quiver におけるregular module を考察し、Type S'の場合の結果を得ることができた。
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