| 研究課題/領域番号 |
18K13403
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| 研究機関 | 日本工業大学 |
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研究代表者 |
内藤 貴仁 日本工業大学, 共通教育学群, 講師 (20724511)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 自由ループ空間 / ストリングトポロジー / 有理ホモトピー論 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は，自由ループ空間の有理係数(コ)ホモロジーの構造を調べる事である．以後，自由ループ空間のホモロジーをループホモロジーと呼ぶことにする．昨年度は，Sullivanによって導入された相対ループホモロジー上のストリング余積と呼ばれる余積と，有理ループコホモロジーのHodge分解の次数との関係をpure多様体の場合に研究した．この研究では，有理ホモトピー論を用いてストリング余積の代数的モデルを構築し，その代数的モデルを調べることで様々な成果を得ることが出来た．
今年度は，構成したストリング余積の代数的モデルと，BrownとSzczarbaによる写像空間の代数的モデルとの関連性について研究した．Brown-Szczarbaモデルは，幾何学的な操作との相性はいいが，一方代数的な計算には少し不向きなモデルである．そこで，私の構成した代数的モデルと関連付ける事で，ストリング余積の幾何学的な側面を代数的モデルから読み取れると思い，本研究に取り組んだ．その為に，まず「adjoint 写像の代数的モデルの構成」に取り組んだ．このモデルにより，値域が写像空間となる連続写像の代数的モデルを，そのadjoint 写像のモデルから得ることができ，以前と比べ代数的モデルを得る事が容易になった．また「道の空間の代数的モデル」についての研究も行った．その二つのモデルを用いることで，ストリング余積の代数的モデルとBrown-Szczarbaモデルとの関連性について明らかにした．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本年度は，Brown-Szczarbaモデルを用いたストリング余積の幾何学と代数的モデルを関連付ける研究に取り組んだ．これは当初計画していた，ループホモロジー類の幾何学的特徴付に生かせる研究成果であるといえる．しかし，新型コロナウィルスの影響で予定していた情報収集ができなかったため，研究計画にやや遅れが出ている状況である．
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| 今後の研究の推進方策 |
ループ積とストリング余積が与える，ループホモロジー上のinfinitesimal 双代数構造についての研究を引き続き進める．特に，オイラー標数が0ではない多様体のストリング余積について研究し，ループホモロジーのループ積に関する代数構造の生成元に着目し，研究に取り組んでいく．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウィルスの影響により，予定していた国内出張が全てキャンセルになったため，計画通りに旅費を執行する事が出来ませんでした．次年度は，執行できなかった旅費を使用して出張を行い，研究発表や情報収集を行う予定である．
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