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2018 年度 実施状況報告書

高次元線形表現のモジュライ空間と3次元多様体の分解

研究課題

研究課題/領域番号 18K13404
研究機関東京大学

研究代表者

北山 貴裕  東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (10700057)

研究期間 (年度) 2018-04-01 – 2022-03-31
キーワード3次元多様体 / 離散群 / 位相不変量 / 表現
研究実績の概要

高次元線形表現のモジュライ空間の幾何学の低次元トポロジーへの応用を基礎付け,当研究領域を育成することを目的として研究を行った.
初年度は,3次元多様体内の曲面の複雑性を図った量であるThurstonノルムと,モジュライ空間上の特別な関数であるねじれAlexander多項式の間に知られる関係の拡張性を追究した.FriedlとLueckのよって,群の1次コホモロジー類のねじれL^2-Euler標数が導入され,3次元多様体の基本群に対しては当不変量がThurstonノルムと等価であることが示されている.本研究では,ある群のクラスに対して,ねじれL^2-Euler標数はある線形表現に付随するねじれAlexander多項式によって捉えられることを示した.このクラスは,直交Artin群の部分群であって,コンパクトなEilemberg-MacLane空間を持つ群を全て含む.特に,3次元多様体の基本群はそのような群の典型例であり,この結果は,3次元多様体のThurstonノルムに対するFriedl,Nagel,Vidussiによる先行結果を一般の離散群の場合にまで拡張するものである.
また,Korea Institute for Advanced Study(韓国・ソウル)で開催された,国際研究集会Seoul-Tokyo Conference in Mathematics 2018の組織委員を務めた.集会では,Geometry and Topologyをテーマとして,低次元トポロジーを含む幾何学の諸話題を巡って,東京とソウルの研究者を中心とした学術交流が行われた.集会には大学院生を含む若手研究者が多数参加し,当該分野の今後の発展に寄与するものと期待される.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

本年度の研究は,線形表現のモジュライ空間及びその上の特別な関数の研究を,3次元多様体から一般の離散群の場合に拡張するための足掛かりとなる.特に,今後計画している,モジュライ空間の無限遠点から構成される3次元多様体内の本質的曲面とトーション不変量との関係の研究を促進することが期待される.また,当初計画していた,一点穴あきトーラス束のSL_3-A多項式の計算も順調に進んでいる.

今後の研究の推進方策

本年度の研究を足掛かりに,3次元多様体の基本群の研究で得られたアイデアを一般の離散群の場合に拡張する研究を更に進める.ドイツのレーゲンスブルク大学に研究滞在し,Stefan Friedl教授と密接な研究打ち合わせを行う予定である.また,本研究のテーマに基づいたセミナーを企画し,研究領域の育成・発展を図る.これまでに得られた成果を講演等により積極的に発信することを心掛け,研究を更に深める.

  • 研究成果

    (11件)

すべて 2019 2018 その他

すべて 国際共同研究 (3件) 雑誌論文 (2件) (うち国際共著 1件、 査読あり 2件) 学会発表 (4件) (うち国際学会 2件、 招待講演 4件) 備考 (1件) 学会・シンポジウム開催 (1件)

  • [国際共同研究] University of Regensburg(ドイツ)

    • 国名
      ドイツ
    • 外国機関名
      University of Regensburg
  • [国際共同研究] Korea Institute for Advanced Study(韓国)

    • 国名
      韓国
    • 外国機関名
      Korea Institute for Advanced Study
  • [国際共同研究] University of Oxford(英国)

    • 国名
      英国
    • 外国機関名
      University of Oxford
  • [雑誌論文] On certain L-functions for deformations of knot group representations2018

    • 著者名/発表者名
      Kitayama Takahiro, Morishita Masanori, Tange Ryoto and Terashima Yuji
    • 雑誌名

      Transactions of the American Mathematical Society

      巻: 370 ページ: 3171-3195

    • DOI

      https://doi.org/10.1090/tran/7037

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Representation varieties detect essential surfaces2018

    • 著者名/発表者名
      Friedl Stefan, Kitayama Takahiro and Nagel Matthias
    • 雑誌名

      Mathematical Research Letters

      巻: 25 ページ: 803-817

    • DOI

      http://dx.doi.org/10.4310/MRL.2018.v25.n3.a4

    • 査読あり / 国際共著
  • [学会発表] Character varieties and essential surfaces2019

    • 著者名/発表者名
      Takahiro Kitayama
    • 学会等名
      The 14th East Asian Conference on Geometric Topology
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] トーション多項式関数と3次元多様体の分解について2018

    • 著者名/発表者名
      北山貴裕
    • 学会等名
      東京電機大学数学講演会
    • 招待講演
  • [学会発表] 線形表現のなす空間と3次元多様体内の曲面について2018

    • 著者名/発表者名
      北山貴裕
    • 学会等名
      空間の代数的・幾何的モデルとその周辺
    • 招待講演
  • [学会発表] Twisted Alexander polynomials and L^2-Euler characteristics2018

    • 著者名/発表者名
      Takahiro Kitayama
    • 学会等名
      New development of low-dimensional topology
    • 国際学会 / 招待講演
  • [備考] 北山研究室ホームページ

    • URL

      https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kitayama/index_j.html

  • [学会・シンポジウム開催] Seoul-Tokyo Conference in Mathematics2018

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公開日: 2019-12-27  

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