| 研究課題/領域番号 |
18K13404
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
北山 貴裕 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (10700057)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 3次元多様体 / 離散群 / 位相不変量 / 表現 |
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| 研究実績の概要 |
高次元線形表現のモジュライ空間の幾何学の低次元トポロジーへの応用を基礎付け、当研究領域を育成することを目的として研究を行った。当該年度は、特に、数論的トポロジーの観点から、結び目群の表現に付随するねじれAlexander加群と随伴ホモロジーSelmer加群について研究した。
数論において、代数的p進L関数がGalois表現の普遍変形に対する随伴Selmer加群に付随する。森下昌紀氏、丹下稜斗氏、寺嶋郁二氏との共同研究において、まず、随伴Selmer加群の双対のトポロジーにおける類似として、結び目群のSL_2-表現の普遍変形に対する随伴ホモロジーSelmer加群を導入した。次に、この随伴ホモロジーSelmer加群が有限生成トーション加群であることを示した。更に、代数的p進L関数の類似と見做せる、当加群のFittingイデアルについて考察するとともに、幾つかの結び目群の表現に対する計算例を提示した。
また、日本数学会編集の雑誌『数学』において、3次元多様体のトポロジー及び指標多様体の幾何学の研究の基礎的事項と歴史をまとめ、指標多様体の無限遠点から3次元多様体内の本質的曲面を構成する理論について解説した。
なお、2019年度より本研究課題を基課題とする研究課題「線形表現の高次元変形による本質的曲面の分布と複雑さの研究」（18KK0380）を実施した。新型コロナウイルス感染症拡大の影響により、特に出張を伴う研究活動が大きく制限されたが、ドイツ・レーゲンスブルク大学のStefan Friedl氏を主な共同研究者として、国際共同研究を進展させた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
新たな方向への研究の展開として、基本群の表現に付随する不変量の数論的トポロジーの観点からの研究と4次元トポロジーへの応用研究が着実に進展した。また、予定していた、指標多様体上のトーション関数をハンドル体分解の分解曲面に付随するクラスター代数によって記述する研究も順調に進んでいる。
本研究課題を基課題とする研究課題「線形表現の高次元変形による本質的曲面の分布と複雑さの研究」（18KK0380）を完了した。また、新型コロナウイルス感染症拡大の影響により、出張を伴う研究活動が大きく制限されたため、補助事業期間の再延長を行った。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究課題を基課題とする研究課題「線形表現の高次元変形による本質的曲面の分布と複雑さの研究」（18KK0380）の共同研究者でもある、Stefan Friedl氏の東京大学への研究訪問を受け、密接な研究打ち合わせを行う予定である。当課題で得られた成果の本研究への更なる寄与についても模索する。また、本研究のテーマに基づいたセミナーを企画し、研究領域の育成・発展を図る。これまでに得られた成果を講演等により積極的に発信することを心掛け、研究を更に深める。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルス感染症拡大の影響により、当初予定していた研究打ち合わせ及び情報収集のための国内外の出張を行えなかったために、次年度使用額が生じた。
本研究の遂行上必要になる専門書籍、パソコン周辺機器、文具を購入するための費用として支出し、また、研究打ち合わせ及び情報収集のための旅費として支出する。
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