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ミラー対称性とは複素幾何とシンプレクティック幾何をつなぐ不思議な予想である。その一つのヴァージョンとしてホモロジー的ミラー対称性がある。これは複素幾何側での連接層のなす圏と、シンプレクティック幾何側でのラグランジアン部分多様体がなす圏を比較する予想である。
私はこのシンプレクティック幾何側の圏にたいする通常とは異なるアプローチについて研究している。通常の定義では非線形解析をつかったアプローチがなされるが、異なるアプローチの方法として代数解析を使うというのがある。もっと具体的には、多様体上の層の理論を余接束上で展開するという超局所層理論というものを用いる。このアプローチはNadler-Zaslowに始まり、近年のGanatra-Pardon-Shendeによってあるところまでは極められた。その「あるところ」というのは、非コンパクトな完全シンプレクティック多様体と言う状況である。この状況では通常のアプローチでもかなり簡単化されるところがあり、代数解析を使ったアプローチもうまく行く。
私は次のステップとしてコンパクトな場合を研究している。今年の成果としては、コンパクトなものであって特殊な条件を満たすものは、層理論を用いて記述できるということを証明し、各所の研究集会などで発表した。これは現在論文にまとめている。
またコンパクトな場合に行くにあたって、Novikov環という概念が大事になり、前年度はそれを研究するにあたり、Riemann-Hilbert対応への応用を見出していた。今年度はそれを深化させる研究も行った。これも現在論文にまとめている。
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