| 研究課題/領域番号 |
18K13409
|
|---|
| 研究機関 | 京都大学 |
|---|
研究代表者 |
高尾 和人 京都大学, スーパーグローバルコース数学系ユニット, 特定助教 (80643832)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
|
| キーワード | 低次元多様体 / 結び目 / 橋分解と橋位置 / 可微分写像の特異点 |
|---|
| 研究実績の概要 |
まず、結び目の橋理論に関する研究において、以下のような進展があった。私は奈良女子大学の小林毅氏と張娟姫氏と駒澤大学の小沢誠氏との以前の共同研究で、ある結び目が存在して、任意の非負整数 k に対して、橋数 2k+5 の極小橋分解をもつことを示した。これは橋分解の分類問題に関して著しい複雑さをもつ結び目の例と言える。しかし、同様の複雑さをもつ結び目や絡み目で、最小の橋数が 4 や 3 となる例も存在する可能性が未解決問題となっていた。これに対して我々は本年度の共同研究で、ある絡み目が存在して、任意の非負整数 k に対して、橋数 2k+4 の極小橋分解をもつことを示せる見通しを得た。あとは細部を詰めることで証明として完成するとも見込まれるし、もしそこに障害が現れたなら寧ろ興味深い考察材料になるとも期待される。
また、直積写像の特異点論に関する研究において、以下のような考察が得られた。３次元空間内の特異曲面においてカスプやスワローテイルと呼ばれる特異点は、特に波面と呼ばれる類の特異曲面にジェネリックに現れることから基本的な研究対象となっている。私は以前の研究で、３次元以上の空間から３次元空間への安定写像の特異点と、値域の３次元空間から直線や平面への射影を合成した写像の特異点と、もとの安定写像の特異値集合に現れるカスプやスワローテイルの性質の関係についての結果を得ていた。本年度の研究では、その結果をもとにした観察から、カスプやスワローテイルをもつ空間曲面の「剛性」とでも呼ぶべき性質を再発見した。その性質自体は特異曲面の専門家には既によく知られているが、今後の研究の精密化や類似が真に新しい発見に結び付くことも期待され、本研究課題の応用の可能性が拡がったと言える。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
「研究実績の概要」欄で述べた成果は、それぞれ本研究課題に関連する着実な進展や興味深い考察であり、初年度の実績としてはおおむね順調と評価できる。
|
| 今後の研究の推進方策 |
研究集会等に積極的に参加して研究打ち合わせを行うことを主な方策として研究を推進する。例えば、6月に金沢で催される「Topology and Geometry of Low-dimensional Manifolds」や、10月にバレンシアで催される「VIth International Workshop on Singularities in Generic Geometry and Applications」などに参加し、多くの研究者たちと議論を交わし情報収集や意見交換を図る。また、必要に応じて研究協力者を訪問または招聘したり、参考図書を用いて知見を広めるなどする。
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
誤差として生じた。
来年度の助成金は「今後の研究の推進方策」欄で述べた方策を実施するための旅費や物品費に使用する。繰り越し額は誤差の範囲であり、この使用計画に大きな影響はない。
|
