| 研究課題/領域番号 |
18K13409
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
高尾 和人 京都大学, スーパーグローバルコース数学系ユニット, 特定助教 (80643832)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 低次元多様体 / 可微分写像の特異点 / Heegaard 分解 / 結び目 |
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| 研究実績の概要 |
まず、可微分写像の特異点に関する研究において、以下のような進展があった。Gay-Kirby により、任意の向き付け可能な閉４次元多様体に対して trisection と呼ばれる分解が可能であり、それは４次元多様体から平面への安定写像に対応することが知られている。１つの４次元多様体の２つの trisections に対応する２つの安定写像に対し、それらの直積写像は４次元多様体から４次元空間への安定写像と仮定できる。３次元多様体論における特異点論的な研究手法の発展により、その直積写像の特異点から、２つの trisections の関係、特に“距離”の評価を導けると期待される。そのために必要な基礎として、私は本年度の研究で、まだ部分的ながら、４次元以上の多様体から４次元空間への写像の安定特異点が、４次元空間からその部分空間への射影を合成した写像の安定特異点になるための必要十分条件を、もとの４次元空間への写像の特異値集合の言葉で与えた。
また、３次元多様体や結び目の分解に関する研究において、以下のような進展があった。私は以前の研究で、結び目の橋分解の強規約性の判定条件を与えたが、本年度の研究ではそれをもとにして、３次元多様体の Heegaard 分解の強規約性の判定条件を与えた。それは、Casson-Gordon による従来の判定条件とは異なる情報に基づいており、新たな範囲の Heegaard 分解への適用が見込まれる。ところで Lustig-Moriah は、Casson-Gordon の結果を発展させ、Heegaard 分解の Goeritz 群や３次元多様体の写像類群の有限性の判定条件を与えた。適切な専門家と共同で今後の研究を進めることで、今回の結果を発展させ、それらの群の有限性の新たな判定条件や、さらにその類似により結び目やその橋分解に関する結果を得られることが期待される。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
「研究実績の概要」欄で述べた結果は、ある面では計画の前倒しに相当する、またある面では当初の想定を超える成果であり、期待以上の進展と言える。その一方で、当初の計画の一部は期待通りには進んでいないため、総合的にはおおむね順調と評価しておく。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究集会等に積極的に参加して研究打ち合わせを行うことを主な方策として研究を推進する。新型コロナウィルス感染拡大の影響で多くの研究集会等が開催を見合わせている現状だが、少なくとも2020年5月にオンライン会議システムを用いて催される「Intelligence of Low-dimensional Topology」には参加して、多くの研究者と議論を交わす予定である。こうしてオンライン型に移行していくにせよ、或いは対面型が再び可能になるにせよ、様々な研究集会等が何らかの形で催されるようになる筈だから、それらに積極的に参加して研究連絡や研究成果発表を行い、情報収集や意見交換を図る。特定の研究協力者との打ち合わせも随時行う。また、参考図書を用いて知見を広めるなどする。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
参加を予定していた研究集会等が中止されたため生じた。それでも繰越額は大きくはないから、なおも続いている感染拡大の影響による不確実性に比べれば誤差の範囲であり、別途の使用計画には及ばない。
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