| 研究実績の概要 |
当該年度は元々の予定とはかなり異なる研究を行っている. 主なものは日本女子大学の藤田玄准教授, 福岡大学の三石史人助教との共同研究である. Symplectic toric 多様体上には moment map と呼ばれる写像が存在する. この moment map の像はちょうど次元が半分の多面体になることが知られているが, さらに多様体の情報を豊富に含んでいる. 例えば多面体を見ることで対応する多様体の Betti 数などが組み合わせ的に計算出来る. ここでは特に二つの moment map の像が合同な場合は弱い意味で対応する多様体が同型であることについて注目する. 我々は symplectic toric 多様体上に自然な計量を入れた時に多様体の Gromov-Hausdorff 収束と, 多面体のなんらかの意味での収束が関係しないかと考え, 共同研究を行った.
単に多面体の Hausdorff 距離を入れるだけではうまく距離を定めることはできないが, ユークリッド空間上のWasserstein 空間の構造を注意深く見ることで多面体の収束概念を定義することができた. 低次元多様体では具体的な収束の間の関係がわかってきたが, その研究手法は symplectic 幾何, リーマン幾何, 距離空間の幾何(特に最適輸送問題)を全て使い, 今まであまり関係のなかった分野の横断的な研究になってきている. また高次元の多様体に関しても多様体が Gromov-Hausdorff 収束している場合に対応する多面体が収束していることは間違いないと考えている. しかしながら逆方向の収束は微分幾何学的な深い考察が必要であり, 今後の課題として残っている.
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| 今後の研究の推進方策 |
今後はまず共同研究をまとめて論文にする. また研究実績の概要欄には記入しなかったが, 別のいくつかの共同研究も動き出しているのでそちらの方にも力を注ぎたい. こちらの方は RCD 空間上でのある種の rigidity 定理であるが, 熱流や Laplacian の固有関数の解析が不可欠であり, 元々の研究課題そのものでありこちらも進めていく.
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