| 研究課題/領域番号 |
18K13427
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
神本 晋吾 広島大学, 理学研究科, 講師 (10636260)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 漸近解析 / リサージェンス理論 / ストークス現象 / 多重総和可能性 |
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| 研究実績の概要 |
１）本年度は非線形常微分方程式の特異点における形式解のストークス現象の解析を目標に研究を行った。既にこのような形式解の rooted tree を用いた展開は得られているが、この rooted tree から定まるリサージェント函数の alien 微分の計算を行ったが、合成積に現れるリサージェント函数の特異点での留数の処理に苦労しており、この留数を上手く扱う手法に関して考察を行っている。本研究の目標の一つである、ストークス係数の明示的な公式が得られるまでには至っていないが、この非線形常微分方程式のリサージェンス理論に関連して、平成３０年９月にポーランドのバナッハセンターで連続講演を行い、平成3１年3月にも日本数学会年会函数方程式論分科会で特別講演を行った。
２）J. Jimenez-Garrido 氏（ヴァヤドリッド大学）、A. Lastra 氏（アルカラ大学）、J. Sanz 氏（ヴァヤドリッド大学）との共同研究として、強正則列に関する多重総和可能性の研究に関しても行い、論文を執筆し発表した。強正則列に関する総和法に関しては、既に J. Sanz 氏などにより基本的な結果が示されているが、それらの結果を踏まえて２つの強正則列の商に付随した積分変換の核の性質を調べた。また、通常の多重総和可能性に関して、J. Ecalle 氏による逐次的な積分変換を用いた定式化、W. Balser 氏による総和可能な級数への分解を用いた定式化、B. Malgrange 氏と J.-P. Ramis 氏による層を用いた定式化が知られているが、強正則列に関する多重総和可能性に関しても、これらの定式化が同値となることを示した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度の研究目標の一つであった、非線形常微分方程式の特異点における形式解のストークス現象の解明に関して、明示的な研究成果は得られなかった。しかし、計算を通してリサージェント函数のボレル変換像の合成積の持つ特異点の構造や、密接な関係がある Ecalle 氏による mould 解析に関する理解が深まったことの意義は大きいと感じている。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度は非線形常微分方程式の形式級数解を直接解析しようと試みてきたが、今後は Ecalle 氏による mould 解析の手法を参考にしながら解析を行なっていく。mould 解析では、alien 微分との親和性の高いリサージェント函数を用いて展開を行うが、このような mould 展開では解の解析的情報が捉えきれないと考えており、ストークス現象の厳密な解析の為には、rooted tree により展開し直した arbomould 展開が必要となると考えている。mould に比べて arbomould は alien 微分との親和性が良くないため、この arbomould の alien 微分の解析が当面の目標となる。また、arbomould 達の alien 微分から Stokes 係数を再構成する手法も必要だと考えており、この点に関しても考察を行っていきたい。
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