| 研究課題/領域番号 |
18K13428
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| 研究機関 | 千葉工業大学 |
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研究代表者 |
蛭子 彰仁 千葉工業大学, 情報科学部, 助教 (70772672)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 差分方程式の不変量 / 超幾何関数 / 特殊値 / 隣接関係式 / 変換公式 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では、超幾何関数の値の構造を解明すること、及びその成果を応用することを目標としている。本年度は、前者について以下の研究(1)を行った。また並行して、後者についての研究を、原岡喜重・落合啓之・佐々木武・吉田正章と共同研究で行っている。本年度は、特に(2)、(3)について研究を行った。
(1) 超幾何関数の変換公式を特殊化することにより、超幾何関数の特殊値が求まる。また、変換公式と関係の深いAGM公式により、円周率の数値計算が行えることも知られている。そこで、ここ数年、変換公式の構成法についての基礎研究をしている。そうして開発したものが、「超幾何関数の隣接関係式」と「差分方程式の不変量」を組み合わせた方法であった。この方法により、ある条件を満たす変換公式が全て得られそうであることが、実験で明らかになっている。加えて、その条件を満たさないものも見つかることも分かっている。それらの観察から、一体どのくらい多くの変換公式が得られるのかについて考察を進め、昨年度には既に定式化していたが、不備があることが分かった。そこで、新たに考察を進め、不備を解消するための道筋を付けた。
(2) 可約な一般化超幾何微分方程式の因数分解について考察を行った。一般化超幾何微分方程式が可約となるための必要十分条件は以前から知られていた。しかし、実際に因数分解を行うとなると困難が生じるため、これまで行われていなかった。そこで、このことについて考察を行い、昇降演算子についての結果を適用することで、明示的な因数分解表示を与えることに成功した。これにより、因数分解したときの微分作用素の係数は、超幾何多項式で書けることが分かった。
(3) Gaussの超幾何微分方程式のテンソル積をmiddle convolutionした、新たな方程式が共同研究で導入された。この級数解を「差分方程式の不変量」を用いて構成した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
上記(1)に関し、これまでの研究に不備があったことを発見でき、それを認識できたことで、超幾何関数の変換公式そのものへの理解が深まった。その後、不備を解決するために必要なものも分かった。これにより、変換公式の一般論の論理展開が以前と比べ、よりクリアになった。このことは当初想定していなかったことであるが、結果的には計画以上に進んだ面である。
上記(2)、(3)に関しては、今まで得られた知見を組み合わせることで得られるものであり、想定していた通りに進んだものであった。
しかし、他にも多くの推進したい研究があったにも関わらず、それらをこなすことが出来なかった点は大きい。このことから、全体的には「やや遅れている」と評価せざるを得ない。
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| 今後の研究の推進方策 |
上記(1)に関し、問題点を解決するための目処は付いているので、それらを文章としてまとめたい。一方、変換公式を具体的に構成するための方法は既に開発している。そこで、この構成法をAppellの超幾何関数F1に対して適用することで、変換公式を沢山導出したい。この超幾何関数の変換公式に関する先行研究は少ない。従って、この研究を行う価値はあると判断しており、計画を実行するための計算機の部品を令和2年度から揃えつつある。揃い次第、計画を実行に移す予定である。
上記(2)、(3)に関しては、引き続き共同研究が進んでいる。その中でまだ進んでいないことは、超幾何関数の和を解に持つ、2階、あるいは3階の線型差分方程式についての考察である。例えば、超幾何関数単品であれば、Wilson多項式4F3(1)の満たす2階線型差分方程式が有名である。しかし、和となると、系統的に分かっていない。そこで、より多くのパラメータを持つ超幾何関数の和で書ける差分方程式を構成していく予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
計算機の部品を揃える予定であったが、品薄が続いたため、本年度中に購入できないものがあった。生じた次年度使用額は、計算機の部品代、書籍代に充てる予定である。
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