接合漸近展開を用いた非線形熱方程式の解析

2021 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 18K13437
• 研究種目: 若手研究
• 配分区分: 基金
• 審査区分: 小区分12020:数理解析学関連
• 研究機関: 秋田大学
• 研究代表者: 原田 潤一 秋田大学, 教育文化学部, 准教授 (00580169)
• 研究期間 (年度): 2018-04-01 – 2022-03-31
• キーワード: 解の爆発問題 / 接合千金展開法 / エネルギー臨界型方程式 / 非線形熱方程式

研究成果の概要

本課題は、非線形偏微分方程式の解構造全体の様子を調べる研究である。エネルギー臨界型と呼ばれる重要なクラスの方程式について、新しい種類の爆発解を捉えることに成功した。特に空間次元と解構造の関係性について詳しく調べた。この結果は、ベラスケス先生らの論文（２０００年）で既に予想されていたものだが、その存在性を数理的に検証したことになる。また、摂動項付き方程式において、二つの解の接続可能性に関する新しい切り口の問題を提案し、そのとき生じる爆発解の構成にも部分的に成功した。

自由記述の分野

非線形偏微分方程式の解の爆発問題

研究成果の学術的意義や社会的意義

デルピノ先生・ムッソ先生らのグループが開発した理論の拡張・精密化を行うことで、未開拓であったエネルギー臨界型方程式の解析に成功した。本課題の特色は、接合漸近展開法と呼ばれる手法を基盤にすることで、熱方程式の解の様子をより見通し良く捉える点にある。また摂動型方程式の解析を通して、二つの解の接続可能性に関する問題を提案したが、これは複雑な現象がスケールを変えて見ることで、幾つかの単純な現象に分解されることを意味している。このような現象がいつ起こるのかといった疑問にはまだまだ答えられていないが、そのような方向性の研究にも今後つながっていくと考えている。