| 研究課題/領域番号 |
18K13438
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
間瀬 崇史 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特任助教 (80780105)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 可積分系 / 離散可積分系 / 代数的エントロピー / Laurent現象 |
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| 研究実績の概要 |
離散可積分系についての研究を、代数的手法による可積分性判定法という観点から行った。用いた主な道具は、特異点閉じ込めテスト、代数的エントロピー(次数増大)、Laurent性、既約性、互いに素条件などである。
1. Laurent性を持つような格子方程式(偏差分方程式)について、定義領域が解に与える影響を調べた。領域や方程式が適当かつ自然な条件を満たすときに、Laurent性を持つ格子方程式の既約性が、領域の取り方によらないことを示した。これにより、Laurent性を持つような方程式の既約性が、方程式に固有の性質である(つまり初期値問題の領域の取り方によらない)ということが言えるようになった。さらに、Laurent性を持つ格子方程式を病的な領域で考えた際に何が起こるのかについても、具体例を中心に調べた。
2. 離散可積分系にRiccati型の拡張を施して得られるような高階の方程式(3階以上の常差分方程式)について、主に特異点閉じ込めパターンと次数増大の観点から調べた。まず、既知の方程式をRiccati拡張して得られる数多くの具体例について、その特異点閉じ込めパターンや次数増大を詳しく調べた。同時に、特異点パターンからRiccati拡張の情報を得ることで、Riccati拡張をする前の方程式を復元する方法についても、具体例を中心に調べた。さらに、他の方程式のRiccati拡張とはなっていないであろう方程式であって、その次数が3次関数的に増大するような具体例を構成することができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
格子方程式の既約性についての結果は、当初は予想していなかったものである。また、特異点閉じ込めを通過しない可積分系についての研究は、当初の計画以上に進んでいると言える。その一方、express methodと因子の打消しの関係についての研究は、当初の計画よりもやや遅れている。総合的に判断すれば、進展はおおむね順調であると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後も引き続き、離散可積分系について、代数的手法による可積分性判定法の観点から研究を進める。なお、特異点閉じ込めを通過しない可積分性については、Riccati拡張以外にも拡張を考えなければならないということがわかったので、どのような拡張が可能なのかについても調べる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
パソコンの周辺機器やソフトウェアの購入が年度内に完了しなかったため、次年度に持ち越しとなってしまった。
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